Упр.74 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за $$2\ \text{ч}$$. Если один из них сделает $$40\%$$ задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится $$4\ \text{ч}$$. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная?

Пусть первый рабочий может выполнить всё задание за $$x$$ часов, а второй — за $$y$$ часов. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ работы в час.

По условию, если первый выполнит $$40\%=\frac{2}{5}$$ работы, а затем второй — оставшуюся часть $$\frac{3}{5}$$, то на это уйдёт 4 часа:

$$\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}y=4.$$

Умножим на 5:

$$2x+3y=20.$$

Если оба рабочих вместе выполняют задание за 2 часа, то

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.$$

Подставим из первого уравнения $$y=\frac{20-2x}{3}$$:

$$\frac{1}{x}+\frac{3}{20-2x}=\frac{1}{2}.$$

Умножим на $$2x(20-2x)$$:

$$2(20-2x)+6x=x(20-2x).$$

Получаем:

$$40-4x+6x=20x-2x^2,$$

$$2x^2-18x+40=0,$$

$$x^2-9x+20=0,$$

$$\left(x-4\right)\left(x-5\right)=0.$$

Значит, $$x=4$$ или $$x=5$$.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

если $$x=4$$, то

$$y=\frac{20-2\cdot 4}{3}=\frac{12}{3}=4;$$

если $$x=5$$, то

$$y=\frac{20-2\cdot 5}{3}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}.$$

Так как по условию производительность труда у рабочих различная, случай $$x=4,\ y=4$$ не подходит. Следовательно,

$$x=5,\qquad y=\frac{10}{3}.$$

Ответ: первый рабочий — за $$5$$ часов, второй — за $$3\frac{1}{3}$$ часа $$\left(3\text{ ч }20\text{ мин}\right)$$.