Упр.72 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Пусть первый экскаватор может выполнить работу за $$x$$ ч, тогда второй — за $$x+4$$ ч.

Их производительности равны соответственно $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{x+4}$$, а вместе они выполняют работу за $$3\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{15}{4}\text{ ч}$$. Тогда

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{4}{15}.$$

Умножим обе части на $$15x(x+4)$$:

$$15(x+4)+15x=4x(x+4).$$

$$15x+60+15x=4x^2+16x.$$

$$4x^2-14x-60=0.$$

Разделим на $$2$$:

$$2x^2-7x-30=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-30)=49+240=289,$$

$$x=\frac{7\pm 17}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{7-17}{4}=-\frac{5}{2}, \qquad x_2=\frac{7+17}{4}=6.$$

Так как время не может быть отрицательным, берём $$x=6$$ ч. Тогда второй экскаватор выполнит работу за

$$x+4=6+4=10\text{ ч}.$$

Ответ: 6 ч и 10 ч.