Упр.70 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Аквариум объёмом $$54\ \text{м}^3$$ заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает $$3\ \text{ч}$$, а второй — $$2\ \text{ч}$$. Какова пропускная способность первого крана, если $$1\ \text{м}^3$$ он заполняет на $$1\ \text{мин}$$ медленнее, чем второй?

Пусть $$x$$ мин — время, за которое первый кран заполняет $$1\ \text{м}^3$$ воды. Тогда второй кран заполняет $$1\ \text{м}^3$$ за $$x-1$$ мин.

За $$3$$ ч первый кран заполнит $$\dfrac{3\cdot 60}{x}$$ м³, а второй за $$2$$ ч — $$\dfrac{2\cdot 60}{x-1}$$ м³. По условию их совместная работа заполняет аквариум объёмом $$54\ \text{м}^3$$:

$$\frac{180}{x}+\frac{120}{x-1}=54$$

Умножим на $$x(x-1)$$:

$$180(x-1)+120x=54x(x-1)$$

$$180x-180+120x=54x^2-54x$$

$$54x^2-354x+180=0$$

$$3x^2-59x+30=0$$

Найдём корни:

$$D=59^2-4\cdot 3\cdot 30=3481-360=3121$$

Здесь удобнее заметить, что исходное уравнение можно сократить на $$6$$:

$$30x^2-295x+150=0$$

Тогда

$$D=295^2-4\cdot 30\cdot 150=87025-18000=69025=263^2$$

$$x=\frac{295\pm 263}{60}$$

$$x_1=\frac{32}{60}=\frac{8}{15},\qquad x_2=\frac{558}{60}=\frac{93}{10}$$

Так как $$x-1>0$$, подходит только $$x=\frac{93}{10}$$ мин.

Тогда пропускная способность первого крана равна

$$\frac{60}{x}=\frac{60}{93/10}=\frac{600}{93}=\frac{200}{31}\ \text{м}^3/\text{ч}$$

Ответ: $$\frac{200}{31}\ \text{м}^3/\text{ч}$$.