Упр.7.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

На рисунке представлен график функции, определённой на отрезке $$[a;b]$$; $$S(x)$$ — площадь «подграфика» на отрезке $$[a;x]$$, $$a

а) На рисунке 8 график — отрезок прямой, проходящей через точки $$(0;2)$$ и $$(2;0)$$. Тогда

$$y=kx+b,$$

$$\begin{cases}2=b,\\0=2k+b,\end{cases}$$

откуда $$b=2,\quad k=-1.$$ Значит,

$$y=2-x.$$

Площадь под графиком на отрезке $$[0;x]$$ равна площади трапеции с основаниями $$2$$ и $$2-x$$ и высотой $$x$$:

$$S(x)=\frac{(2+(2-x))x}{2}=\frac{x(4-x)}{2},\qquad 0\le x\le 2.$$

График функции $$y=S(x)$$ — ветвь параболы, проходящая через точки $$(0;0)$$ и $$(2;2)$$.

Так как на отрезке $$[0;2]$$ функция $$S(x)$$ возрастает, её область значений:

$$E(S)=[0;2].$$

б) На рисунке 9 график состоит из двух отрезков. Первый отрезок соединяет точки $$(-4;0)$$ и $$(1;20)$$, второй — точки $$(1;20)$$ и $$(8;42)$$.

Для $$-4\le x\le 1$$ площадь под графиком — площадь треугольника с основанием $$x+4$$ и высотой $$5(x+4)$$, поэтому

$$S(x)=\frac{(x+4)\cdot 5(x+4)}{2}=\frac{5}{2}(x+4)^2.$$

Для $$1\le x\le 8$$ площадь равна площади первого треугольника плюс площадь трапеции под вторым отрезком:

$$S(x)=\frac{5\cdot 5}{2}+\frac{(20+y(x))\,(x-1)}{2},$$

где $$y(x)$$ — уравнение второго отрезка. По точкам $$(1;20)$$ и $$(8;42)$$ получаем

$$y(x)=\frac{22}{7}x+\frac{118}{7}.$$

Тогда

$$S(x)=\frac{25}{2}+\frac{\left(20+\frac{22}{7}x+\frac{118}{7}\right)(x-1)}{2}.$$

После упрощения получаем линейную функцию на этом промежутке:

$$S(x)=26+2x,\qquad 1\le x\le 8.$$

Следовательно, график $$y=S(x)$$ сначала — часть параболы, затем — отрезок прямой. Наименьшее значение равно $$0$$, наибольшее — $$42$$, значит

$$E(S)=[0;42].$$

Ответ

а) $$S(x)=\frac{x(4-x)}{2},\ 0\le x\le 2,\quad E(S)=[0;2].$$

б) $$S(x)=\frac{5}{2}(x+4)^2,\ -4\le x\le 1;\qquad S(x)=26+2x,\ 1\le x\le 8,\quad E(S)=[0;42].$$