Упр.7.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Из прямоугольного листа жести размером $$30 \times 50\ \text{см}$$ по углам вырезали квадраты со стороной $$x\ \text{см}$$ и из полученной заготовки в форме «креста» согнули коробку прямоугольной формы высотой, равной $$x\ \text{см}$$ (см. рис. 11). Выразите объем полученной коробки как функцию от $$x$$.

После вырезания квадратов со стороной $$x$$ см размеры дна коробки будут равны:

$$30-2x$$ и $$50-2x,$$

а высота коробки — $$x$$.

Тогда объём коробки:

$$V(x)=(30-2x)(50-2x)x.$$

Раскроем скобки:

$$V(x)=x(1500-60x-100x+4x^2)=4x^3-160x^2+1500x.$$

Так как размеры коробки должны быть положительными, то

$$30-2x>0,\quad 50-2x>0,\quad x>0.$$

Отсюда получаем:

$$x<15,\quad x<25,\quad x>0,$$

значит, $$x\in(0;15).$$

Ответ

$$V(x)=4x^3-160x^2+1500x,\quad x\in(0;15).$$