Упр.7.71 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$\omega \in [0;1)$$, докажем, что для любого натурального числа $$a$$ верно:

1. $$\{a+\omega\}=\omega$$

   Так как $$a\in \mathbb{Z}$$, то $$[a]=a$$ и

   $$a\le a+\omega<a+1,$$

   поскольку $$0\le \omega<1$$.

   Значит, целая часть числа $$a+\omega$$ равна $$a$$:

   $$[a+\omega]=a.$$

   Тогда дробная часть:

   $$\{a+\omega\}=a+\omega-[a+\omega]=a+\omega-a=\omega.$$

2. $$\{a-\omega\}=1-\omega$$

   Так как $$0\le \omega<1$$, то

   $$a-1\le a-\omega<a.$$

   Следовательно,

   $$[a-\omega]=a-1.$$

   Тогда

   $$\{a-\omega\}=a-\omega-[a-\omega]=a-\omega-(a-1)=1-\omega.$$

Ответ: $$\{a+\omega\}=\omega,\quad \{a-\omega\}=1-\omega.$$