Упр.7.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Если $$[x]=[y],$$ то оба выражения равны одному и тому же целому числу $$k$$:

$$[x]=[y]=k.$$

Тогда

$$k \le x < k+1,\qquad k \le y < k+1.$$

Следовательно, $$x$$ и $$y$$ лежат в одном и том же промежутке длины 1, а значит, $$x=y$$.

б) Если $$[x]>[y],$$ то для целых частей должно выполняться

$$[y]<[x]=k.$$

Значит,

$$k \le x < k+1,\qquad y<k.$$

То есть область решений — все точки, для которых целая часть $$x$$ больше целой части $$y$$.

в) Если $$[x]<[y],$$ то

$$[x]<[y]=k.$$

Тогда

$$x<k,\qquad k \le y < k+1.$$

Следовательно, область решений — все точки, для которых целая часть $$x$$ меньше целой части $$y$$.

г) Если $$[x-1]>[y+1],$$ то сначала рассмотрим равенство целых частей:

$$[x-1]=[y+1]=k.$$

Тогда

$$k \le x-1 < k+1,\qquad k \le y+1 < k+1.$$

Отсюда

$$k+1 \le x < k+2,\qquad k-1 \le y < k.$$

Значит, решениями являются все точки, удовлетворяющие этим неравенствам.

Ответ:

а) $$x=y.$$

б) $$[x]>[y].$$

в) $$[x]<[y].$$

г) $$k+1 \le x < k+2,\; k-1 \le y < k$$ для некоторого целого $$k$$.