Упр.7.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$[x]=x.$$

Такое равенство возможно тогда и только тогда, когда $$x$$ — целое число.

Ответ: $$x \in \mathbb{Z}.$$

б) $$[x+5]=1-x.$$

Так как левая часть — целое число, то и правая часть должна быть целым числом. Значит, $$x \in \mathbb{Z}.$$ Тогда можно приравнять:

$$x+5=1-x,$$

$$2x=-4,$$

$$x=-2.$$

Ответ: $$x=-2.$$

в) $$[x]=\frac{x}{2}.$$

Левая часть — целое число, значит, $$\frac{x}{2}$$ тоже должно быть целым числом. Следовательно, $$x$$ — чётное число. Пусть $$x=2k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. Тогда

$$[2k]=k.$$

Но $$[2k]=2k$$, так как $$2k$$ — целое число. Получаем

$$2k=k,$$

$$k=0,$$

$$x=0.$$

Ответ: $$x=0.$$

г) $$\left[\frac{x+1}{4}\right]=x+2.$$

Правая часть — целое число, значит, $$x+2 \in \mathbb{Z}$$, то есть $$x \in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$\frac{x+1}{4}=x+2,$$

$$x+1=4(x+2),$$

$$x+1=4x+8,$$

$$3x=-7,$$

$$x=-\frac{7}{3}.$$

Но это не целое число, а значит, условие $$x \in \mathbb{Z}$$ не выполняется. Проверим целочисленное значение, при котором правая часть может быть целой: из равенства следует, что $$x=-3$$, и тогда

$$\left[\frac{-3+1}{4}\right]=\left[-\frac12\right]=-1,\qquad -3+2=-1.$$

Значит, решение:

Ответ: $$x=-3.$$