Упр.7.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$[x]=k,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$ Тогда по определению целой части числа

$$k\le x<k+1.$$

Прибавим к обеим частям неравенства число $$n\in \mathbb{N}:$$

$$k+n\le x+n<k+n+1.$$

Так как $$k+n\in \mathbb{Z},$$ то по определению целой части

$$[x+n]=k+n.$$

Что и требовалось доказать.

б) Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример.

Пусть $$x=1{,}9,$$ $$y=0{,}2.$$ Тогда

$$[x]=[1{,}9]=1,$$

$$[x+y]=[2{,}1]=2,$$

а

$$[x]+y=1+0{,}2=1{,}2.$$

Получаем, что

$$[x+y]=2>1{,}2=[x]+y,$$

то есть неравенство $$[x+y]\le [x]+y$$ неверно.