Упр.7.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\left|2-\sqrt{5-x}\right|$$

$$2-\sqrt{5-x}\ge 0$$
$$\sqrt{5-x}\le 2$$
$$5-x\le 4$$
$$x\ge 1$$

Область определения:

$$5-x\ge 0 \Rightarrow x\le 5$$

Значит, $$1\le x\le 5$$, и тогда

$$y=2-\sqrt{5-x}$$

При $$x<1$$ имеем

$$y=\sqrt{5-x}-2$$

Ключевые точки: $$x=1,\;4,\;5$$, тогда

Следовательно, $$D(x)=(-\infty;5]$$, $$E(y)=[0;+\infty)$$. Функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;5]$$. Нуль функции: $$x=1$$.

б) $$y=2-\sqrt{5-|x|}$$

Область определения:

$$5-|x|\ge 0$$
$$|x|\le 5$$
$$-5\le x\le 5$$

Если $$0\le x\le 5$$, то

$$y=2-\sqrt{5-x}$$

Если $$-5\le x<0$$, то

$$y=2-\sqrt{5+x}$$

Ключевые точки:

Для левой части:

Итак, $$D(x)=[-5;5]$$, $$E(y)=[2-\sqrt{5};2]$$. Функция убывает на $$[-5;0]$$ и возрастает на $$[0;5]$$. Нули функции: $$x=\pm 1$$.

в) $$y=\left|2-\sqrt{5+x}\right|$$

Область определения:

$$5+x\ge 0 \Rightarrow x\ge -5$$

Если $$-5\le x\le -1$$, то

$$y=2-\sqrt{5+x}$$

Если $$x>-1$$, то

$$y=\sqrt{5+x}-2$$

Ключевые точки:

Следовательно, $$D(x)=[-5;+\infty)$$, $$E(y)=[0;+\infty)$$. Функция убывает на $$[-5;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$. Нуль функции: $$x=-1$$.

г) $$y=\left|2-\sqrt{5+|x|}\right|$$

Так как $$|x|\ge 0$$, то

$$5+|x|\ge 0$$

Значит, область определения: $$D(x)=\mathbb{R}$$.

Если $$|x|\le 1$$, то $$2-\sqrt{5+|x|}\ge 0$$ и

$$y=2-\sqrt{5+|x|}$$

Если $$|x|>1$$, то

$$y=\sqrt{5+|x|}-2$$

Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси $$Oy$$. Минимум достигается при $$x=0$$:

$$y_{\min}=\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$$

Следовательно, $$E(y)=[\sqrt{5}-2;+\infty)$$. Нулей функции нет.