Упр.7.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=|x-5|$$

$$y= \begin{cases} x-5, & x\ge 5,\\ 5-x, & x<5. \end{cases}$$

Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;5],$$ возрастает на $$[5;+\infty).$$
Нуль функции: $$x=5.$$

б) $$y=|x+3|+|1-x|$$

Рассмотрим промежутки, где выражения под модулем меняют знак:

$$x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3,\qquad 1-x\ge 0 \Rightarrow x\le 1.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} -2x-2, & x<-3,\\ 4, & -3\le x<1,\\ 2x+2, & x\ge 1. \end{cases}$$

Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=[4;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;-3],$$ возрастает на $$[1;+\infty),$$ постоянна на $$[-3;1].$$
Нулей функции нет.

в) $$y=2-|1-x|$$

$$y= \begin{cases} 1+x, & x\le 1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases}$$

Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=(-\infty;2].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$
Нули функции:
$$2-|1-x|=0 \Rightarrow |1-x|=2 \Rightarrow x=-1,\ 3.$$

г) $$y=|x+3|-|1-x|$$

$$y= \begin{cases} -4, & x<-3,\\ 2x+2, & -3\le x<1,\\ 4, & x\ge 1. \end{cases}$$

Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=[-4;4].$$
Функция возрастает на $$[-3;1],$$ не убывает.
Функция постоянна на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty).$$
Нуль функции: $$x=-1.$$