Упр.7.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для функции вида $$y=\sqrt{f(x)}$$ значения всегда неотрицательны, поэтому нужно найти наименьшее целое число, которое может принимать выражение под корнем и при котором корень определён.

а)

$$y=\sqrt{x^2-7x-3}$$

Пусть $$a=x^2-7x-3$$. Тогда нужно найти наименьшее целое значение $$a$$, при котором уравнение

$$x^2-7x-(3+a)=0$$

имеет действительные корни. Для этого дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=7^2+4(3+a)=49+12+4a=61+4a.$$

Тогда

$$61+4a\ge 0,$$

$$a\ge -15{,}25.$$

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, равно $$-15$$.

б)

$$y=\sqrt{x^2-7x+24}$$

Пусть $$a=x^2-7x+24$$. Тогда уравнение

$$x^2-7x+(24-a)=0$$

должно иметь действительные корни. Найдём дискриминант:

$$D=7^2-4(24-a)=49-96+4a=4a-47.$$

Требуем:

$$4a-47\ge 0,$$

$$a\ge 11{,}75.$$

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, равно $$12$$.

Ответ: а) $$-15$$; б) $$12$$.