Упр.7.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Для нахождения области значений функции введём обозначение $$y=f(x)$$ и выразим $$x$$ через $$y$$. Тогда нужно выяснить, при каких значениях $$y$$ у полученного уравнения есть действительные корни.
а)
$$y=\frac{x^2+8}{x}$$
$$yx=x^2+8$$
$$x^2-yx+8=0$$
Дискриминант этого уравнения:
$$D=y^2-4\cdot 8=y^2-32.$$
Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно:
$$y^2-32\ge 0$$
$$y^2\ge 32$$
$$|y|\ge 4\sqrt2.$$
Значит,
$$E(f)=(-\infty;\,-4\sqrt2]\cup[4\sqrt2;\,+\infty).$$
б)
$$y=\frac{x^2+8}{x+1}$$
$$y(x+1)=x^2+8$$
$$x^2-yx+(8-y)=0$$
Дискриминант:
$$D=y^2-4(8-y)=y^2+4y-32.$$
Требуем:
$$y^2+4y-32\ge 0$$
$$(y+8)(y-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$y\le -8 \quad \text{или} \quad y\ge 4.$$
Следовательно,
$$E(f)=(-\infty;\,-8]\cup[4;\,+\infty).$$
в)
$$y=\frac{x^2-4}{x}$$
$$yx=x^2-4$$
$$x^2-yx-4=0$$
Дискриминант:
$$D=y^2+16.$$
Так как
$$y^2+16>0$$
при любом $$y$$, то действительные корни существуют при всех значениях $$y$$.
Значит,
$$E(f)=(-\infty;\,+\infty).$$
г)
$$y=\frac{x^2-4}{x-1}$$
$$y(x-1)=x^2-4$$
$$x^2-yx+(y-4)=0$$
Дискриминант:
$$D=y^2-4(y-4)=y^2-4y+16.$$
Преобразуем:
$$y^2-4y+16=(y-2)^2+12>0.$$
Следовательно, уравнение имеет действительные корни при любом $$y$$, и
$$E(f)=(-\infty;\,+\infty).$$
Ответ:
а) $$(-\infty;\,-4\sqrt2]\cup[4\sqrt2;\,+\infty)$$; б) $$(-\infty;\,-8]\cup[4;\,+\infty)$$; в) $$(-\infty;\,+\infty)$$; г) $$(-\infty;\,+\infty)$$.
