Упр.7.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а)

1) $$x^2-ax+3=0$$

Чтобы уравнение имело корни, нужно $$D\ge 0$$:

$$D=a^2-4\cdot 3=a^2-12.$$

Тогда

$$a^2-12\ge 0,$$

$$a^2\ge 12,$$

$$|a|\ge 2\sqrt{3}.$$

Значит, $$a\le -2\sqrt{3}$$ или $$a\ge 2\sqrt{3}.$$

2) $$y=\dfrac{x^2+3}{x}.$$

Преобразуем:

$$yx=x^2+3,$$

$$x^2-yx+3=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Чтобы оно имело корни, нужно

$$D=y^2-12\ge 0,$$

$$y^2\ge 12,$$

$$|y|\ge 2\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$y\in(-\infty;-2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3};+\infty).$$

б)

1) $$ax^2-4x+a=0.$$

Для существования корней требуется $$D\ge 0$$:

$$D=(-4)^2-4\cdot a\cdot a=16-4a^2=4(4-a^2).$$

Тогда

$$4(4-a^2)\ge 0,$$

$$4-a^2\ge 0,$$

$$a^2\le 4,$$

$$|a|\le 2.$$

Значит, $$-2\le a\le 2.$$

2) $$y=\dfrac{4x}{x^2+1}.$$

Преобразуем:

$$y(x^2+1)=4x,$$

$$yx^2-4x+y=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для его корней нужно

$$D=16-4y^2\ge 0,$$

$$16\ge 4y^2,$$

$$y^2\le 4,$$

$$|y|\le 2.$$

Следовательно,

$$y\in[-2;2].$$

Ответ

а) $$a\le -2\sqrt{3}$$ или $$a\ge 2\sqrt{3};\quad y\in(-\infty;-2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3};+\infty).$$

б) $$-2\le a\le 2;\quad y\in[-2;2].$$