Упр.7.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Выполните в указанном порядке задания а) и б), и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества $$E(f)$$ значений функции $$y=f(x)$$, исследуя вопрос существования корней уравнения $$f(x)=a$$, а также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения $$f(x)=a$$, если известно $$E(f)$$.
- а) Найдите область значений функции $$y=x^2-4x-1$$ и определите, при каких значениях параметра $$b$$ уравнение $$b=x^2-4x-1$$ имеет хотя бы один корень из $$\mathbb{R}$$.
- б) Определите, при каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^2+4x-3=a$$ имеет хотя бы один корень из $$\mathbb{R}$$, и найдите область значений функции $$y=x^2+4x-3$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x-1.$$
Это парабола, ветви направлены вверх, так как $$a=1>0.$$ Найдём координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$
$$y_0=2^2-4\cdot 2-1=4-8-1=-5.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-5,$$ значит
$$E(f)=[-5;+\infty).$$
Чтобы уравнение $$b=x^2-4x-1$$ имело хотя бы один корень, число $$b$$ должно принадлежать области значений функции. Поэтому
$$b\ge -5.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x^2+4x-3.$$
Это парабола, ветви направлены вверх, так как $$a=1>0.$$ Найдём координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$
$$y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)-3=4-8-3=-7.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-7,$$ значит
$$E(f)=[-7;+\infty).$$
Чтобы уравнение $$x^2+4x-3=a$$ имело хотя бы один корень, число $$a$$ должно принадлежать области значений функции. Поэтому
$$a\ge -7.$$
Обобщение
Для нахождения множества значений функции $$y=f(x)$$ удобно:
- исследовать график функции и найти её наименьшее и наибольшее значения;
- записать множество значений в виде промежутка.
Если известно множество значений $$E(f),$$ то уравнение $$f(x)=a$$ имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда $$a\in E(f).$$
Ответ: а) $$E(f)=[-5;+\infty),\quad b\ge -5.$$ б) $$E(f)=[-7;+\infty),\quad a\ge -7.$$
