Упр.7.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите область значений функции: а) $$y=|x|\cdot(x-6)-2$$; б) $$y=x\cdot|x-6|-2$$.
Рассмотрим функцию по частям.
а)
$$y=|x|\cdot(x-6)-2$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и
$$y=x(x-6)-2=x^2-6x-2.$$
Это парабола, ветви направлены вверх, значит её значения не ограничены сверху.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и
$$y=-x(x-6)-2=-x^2+6x-2.$$
Это парабола, ветви направлены вниз, значит её значения не ограничены снизу.
Следовательно, область значений функции:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
б)
$$y=x\cdot|x-6|-2$$
Если $$x\ge 6$$, то $$|x-6|=x-6$$ и
$$y=x(x-6)-2=x^2-6x-2.$$
Если $$x<6$$, то $$|x-6|=6-x$$ и
$$y=x(6-x)-2=-x^2+6x-2.$$
В первом случае получаем параболу, ветви которой направлены вверх, во втором — вниз. Значит, функция принимает сколь угодно большие и сколь угодно малые значения.
Итак,
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$(-\infty;+\infty)$$.
