Упр.7.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть область значений функции $$y=f(x)$$ есть отрезок $$[-3; 5]$$. Найдите все целочисленные значения функции.

Пусть $$E(f)=[-3;5].$$ Тогда для каждого выражения найдём область значений и целые числа, которые в неё входят.

1. $$y=\frac{7}{5+f(x)}.$$

   Так как $$-3\le f(x)\le 5,$$ то

   $$2\le 5+f(x)\le 10.$$

   Следовательно,

   $$\frac{7}{10}\le y\le \frac{7}{2}.$$

   Целые значения: $$1,\ 2,\ 3.$$

2. $$y=\frac{8+f(x)}{7+f(x)}=1+\frac{1}{7+f(x)}.$$

   Так как $$-3\le f(x)\le 5,$$ то

   $$4\le 7+f(x)\le 12.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{12}\le \frac{1}{7+f(x)}\le \frac{1}{4},$$

   значит,

   $$1+\frac{1}{12}\le y\le 1+\frac{1}{4}.$$

   В этом промежутке целых чисел нет.

3. $$y=\frac{15}{7-f(x)}.$$

   Так как $$-3\le f(x)\le 5,$$ то

   $$2\le 7-f(x)\le 10.$$

   Следовательно,

   $$\frac{15}{10}\le y\le \frac{15}{2},$$

   то есть

   $$\frac{3}{2}\le y\le \frac{15}{2}.$$

   Целые значения: $$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7.$$

4. $$y=\frac{f(x)}{6-f(x)}.$$

   Положим $$t=f(x),$$ тогда $$-3\le t\le 5.$$

   Преобразуем:

   $$\frac{t}{6-t}=\frac{6-(6-t)}{6-t}=\frac{6}{6-t}-1.$$

   Так как $$-3\le t\le 5,$$ то

   $$1\le 6-t\le 9.$$

   Значит,

   $$\frac{6}{9}\le \frac{6}{6-t}\le 6,$$

   то есть

   $$\frac{2}{3}\le \frac{6}{6-t}\le 6.$$

   Тогда

   $$-\frac{1}{3}\le y\le 5.$$

   Целые значения: $$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5.$$

Ответ: а) $$1,\ 2,\ 3$$; б) целых значений нет; в) $$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$$; г) $$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$$.