Упр.7.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что все значения функции $$y=5x+3$$ положительны в окрестности точки $$0$$ радиуса $$0{,}2$$.

б) Докажите, что в $$0{,}5$$-окрестности точки $$-1$$ найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции $$y=5x+3$$.

а) Рассмотрим $$y=5x+3$$ в $$0{,}2$$-окрестности точки $$0$$, то есть при $$x\in[-0{,}2;0{,}2]$$.

Найдём значения функции на концах отрезка:

$$y(-0{,}2)=5\cdot(-0{,}2)+3=-1+3=2,$$

$$y(0{,}2)=5\cdot0{,}2+3=1+3=4.$$

Так как функция линейная и возрастает, то на всём отрезке $$[-0{,}2;0{,}2]$$ её значения лежат между $$2$$ и $$4$$, то есть все положительны.

б) Рассмотрим $$y=5x+3$$ в $$0{,}5$$-окрестности точки $$-1$$, то есть при $$x\in[-1{,}5;-0{,}5]$$.

Найдём значения функции на концах отрезка:

$$y(-1{,}5)=5\cdot(-1{,}5)+3=-7{,}5+3=-4{,}5<0,$$

$$y(-0{,}5)=5\cdot(-0{,}5)+3=-2{,}5+3=0{,}5>0.$$

Значит, в этой окрестности есть и отрицательные, и положительные значения функции.

Ответ

а) В $$0{,}2$$-окрестности точки $$0$$ все значения функции положительны.
б) В $$0{,}5$$-окрестности точки $$-1$$ функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.