Упр.7.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим знаки выражений $$|x|,\ |x-1|,\ |x-2|,\ |x-3|$$ на промежутках, разделённых точками $$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$

а)

$$f(x)=\frac{|x|}{x}+\frac{|x-1|}{x-1}+\frac{|x-2|}{x-2}+\frac{|x-3|}{x-3}.$$

На каждом промежутке получаем:

1. Если $$x<0,$$ то
   $$f(x)=-1-1-1-1=-4.$$
2. Если $$0\le x<1,$$ то
   $$f(x)=1-1-1-1=-2.$$
3. Если $$1\le x<2,$$ то
   $$f(x)=1+1-1-1=0.$$
4. Если $$2\le x<3,$$ то
   $$f(x)=1+1+1-1=2.$$
5. Если $$x\ge 3,$$ то
   $$f(x)=1+1+1+1=4.$$

Следовательно, множество значений функции:

$$E(f)=\{-4,\,-2,\,0,\,2,\,4\}.$$

б)

$$f(x)=\frac{|x|}{x}-\frac{|x-1|}{x-1}+\frac{|x-2|}{x-2}-\frac{|x-3|}{x-3}.$$

Рассмотрим те же промежутки:

1. Если $$x<0,$$ то
   $$f(x)=-1-(-1)+(-1)-(-1)=0.$$
2. Если $$0\le x<1,$$ то
   $$f(x)=1-(-1)+(-1)-(-1)=2.$$
3. Если $$1\le x<2,$$ то
   $$f(x)=1-1+(-1)-(-1)=0.$$
4. Если $$2\le x<3,$$ то
   $$f(x)=1-1+1-(-1)=2.$$
5. Если $$x\ge 3,$$ то
   $$f(x)=1-1+1-1=0.$$

Значит, множество значений функции:

$$E(f)=\{0,\,2\}.$$

Ответ: а) $$\{-4,\,-2,\,0,\,2,\,4\}$$; б) $$\{0,\,2\}$$.