Упр.7.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=2+\frac{x}{|x|}$$

Рассмотрим два случая:

1) Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=2+\frac{x}{x}=2+1=3.$$

2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=2+\frac{x}{-x}=2-1=1.$$

Следовательно, $$E(y)=\{1;3\}.$$

б) $$y=x^2+2x-\frac{x}{|x|}$$

1) Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$y=x^2+2x-\frac{x}{x}=x^2+2x-1.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. При $$x>0$$ наименьшее значение достигается при $$x\to 0+$$:

$$y\to -1.$$

2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$y=x^2+2x-\frac{x}{-x}=x^2+2x+1=(x+1)^2.$$

Здесь $$y\ge 0.$$

Объединяя оба случая, получаем:

$$E(y)=(-1;+\infty).$$

в) $$y=2x-\frac{x}{|x|}$$

1) Если $$x>0,$$ то

$$y=2x-\frac{x}{x}=2x-1.$$

2) Если $$x<0,$$ то

$$y=2x-\frac{x}{-x}=2x+1.$$

В обоих случаях получаются прямые с ненулевым угловым коэффициентом, поэтому множество значений — все действительные числа:

$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

г) $$y=x^2-2x+\frac{x+1}{|x+1|}$$

1) Если $$x>-1,$$ то $$|x+1|=x+1,$$ и

$$y=x^2-2x+\frac{x+1}{x+1}=x^2-2x+1=(x-1)^2.$$

Значит, $$y\ge 0.$$

2) Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-(x+1),$$ и

$$y=x^2-2x+\frac{x+1}{-(x+1)}=x^2-2x-1.$$

При $$x<-1$$ это выражение больше либо равно значению при $$x=-1,$$ то есть

$$y\ge (-1)^2-2(-1)-1=2.$$

Следовательно, множество значений всей функции:

$$E(y)=[0;+\infty).$$

Ответ: а) $$\{1;3\}$$; б) $$(-1;+\infty)$$; в) $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$[0;+\infty).$$