Упр.7.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Область определения функции

$$y=\frac{1-\sqrt{2x^2-7x-22}}{x+30}$$

находим из условий:

$$2x^2-7x-22\ge 0,\qquad x+30\ne 0.$$

Решим неравенство:

$$2x^2-7x-22=(2x+4)(x-5{,}5)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 5{,}5.$$

Кроме того,

$$x\ne -30.$$

Значит,

$$D(y)=(-\infty;-30)\cup(-30;-2]\cup[5{,}5;+\infty).$$

а)

Число $$b\in D(y),$$ а число $$b+1\notin D(y).$$

Чтобы $$b+1\notin D(y),$$ нужно, чтобы

$$b+1=-30 \quad \text{или} \quad -2<b+1<5{,}5.$$

Из первого случая получаем

$$b=-31.$$

Из второго случая:

$$-2<b+1<5{,}5 \;\Rightarrow\; -3<b<4{,}5.$$

С учётом условия $$b\in D(y)$$ остаётся

$$-3<b\le -2.$$

Ответ: $$b=-31;\; -3<b\le -2.$$

б)

Число $$b\in D(y),$$ а число $$b-1\notin D(y).$$

Тогда

$$b-1=-30 \quad \text{или} \quad -2<b-1<5{,}5.$$

Из первого случая:

$$b=-29.$$

Из второго случая:

$$-2<b-1<5{,}5 \;\Rightarrow\; -1<b<6{,}5.$$

С учётом $$b\in D(y)$$ получаем

$$5{,}5\le b<6{,}5.$$

Ответ: $$b=-29;\; 5{,}5\le b<6{,}5.$$

в)

Оба числа $$b-1$$ и $$b+1$$ принадлежат $$D(y).$$

Это возможно, если оба числа лежат в одной из частей области определения:

$$b-1,\; b+1\le -2$$

или

$$b-1,\; b+1\ge 5{,}5,$$

а также нужно учитывать, что $$b-1\ne -30$$ и $$b+1\ne -30.$$

1) Если $$b+1\le -2,$$ то $$b\le -3.$$

Чтобы оба числа не попадали в точку $$-30,$$ получаем:

$$b\ne -31,\qquad b\ne -29.$$

2) Если $$b-1\ge 5{,}5,$$ то $$b\ge 6{,}5.$$

Итак,

$$b\in(-\infty;-31)\cup(-31;-30)\cup(-30;-29)\cup(-29;-3]\cup[6{,}5;+\infty).$$

Ответ: $$b\in(-\infty;-31)\cup(-31;-30)\cup(-30;-29)\cup(-29;-3]\cup[6{,}5;+\infty).$$

г)

Отрезок $$[b+1;\,b+2]$$ должен целиком содержаться в $$D(y).$$

Это возможно в следующих случаях:

1) $$b+2<-30,$$ тогда $$b<-32.$$

2) $$-30<b+1\le -2,$$ тогда

$$b>-31,\qquad b\le -4.$$

3) $$b+1\ge 5{,}5,$$ тогда

$$b\ge 4{,}5.$$

Следовательно,

$$b\in(-\infty;-32)\cup(-31;-4]\cup[4{,}5;+\infty).$$

Ответ: $$b\in(-\infty;-32)\cup(-31;-4]\cup[4{,}5;+\infty).$$