Упр.7.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для функции $$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{ax+4}$$ область определения задаётся системой неравенств:

$$\begin{cases} x-3\ge 0,\\ ax+4\ge 0. \end{cases}$$

То есть

$$x\ge 3,$$

и

$$ax\ge -4.$$

Если $$a<0,$$ то

$$x\le -\frac{4}{a}.$$

Тогда область определения — пересечение лучей $$x\ge 3$$ и $$x\le -\frac{4}{a}.$$

1. Область определения является лучом, если второе неравенство не ограничивает справа, то есть при $$a\ge 0.$$

2. Область определения является отрезком, если $$a<0$$ и $$3<-\frac{4}{a}.$$

   Решим неравенство:

   $$3<-\frac{4}{a}$$

   Так как $$a<0,$$ умножаем на $$a$$ с изменением знака неравенства:

   $$3a>-4$$

   $$a>-\frac{4}{3}$$

   С учётом $$a<0$$ получаем:

   $$-\frac{4}{3}<a<0.$$

3. Область определения является единственным числом, если $$a<0$$ и $$3=-\frac{4}{a}.$$

   Тогда

   $$3=-\frac{4}{a}$$

   $$3a=-4$$

   $$a=-\frac{4}{3}.$$

4. Область определения является пустым множеством, если $$a<0$$ и $$3>-\frac{4}{a}.$$

   Решаем:

   $$3>-\frac{4}{a}$$

   При $$a<0$$ получаем

   $$3a<-4$$

   $$a<-\frac{4}{3}.$$

Ответ: а) $$a\ge 0$$; б) $$-\frac{4}{3}<a<0$$; в) $$a=-\frac{4}{3}$$; г) $$a<-\frac{4}{3}.$$