Упр.7.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$f(x)=x^2-3x-4,$$ $$g(x)=5x-x^2.$$

а)

$$y=\sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{g(x)}=\sqrt{x^2-3x-4}\cdot\sqrt{5x-x^2}.$$

Выражение имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:

$$x^2-3x-4\ge 0,$$ $$5x-x^2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-3x-4=(x+1)(x-4),$$ $$5x-x^2=x(5-x).$$

Тогда

$$\begin{cases} (x+1)(x-4)\ge 0,\\ x(5-x)\ge 0. \end{cases}$$

Отсюда

$$x\le -1 \text{ или } x\ge 4,$$ $$0\le x\le 5.$$

Пересечение этих промежутков:

$$D(y)=[4;5].$$

б)

$$y=\sqrt{f(x)\cdot g(x)}=\sqrt{(x^2-3x-4)(5x-x^2)}.$$

Нужно, чтобы произведение под корнем было неотрицательным:

$$(x^2-3x-4)(5x-x^2)\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$(x+1)(x-4)\cdot x(5-x)\ge 0,$$

или

$$(x+1)x(x-4)(x-5)\le 0.$$

По знакам получаем:

$$D(y)=[-1;0]\cup[4;5].$$

в)

$$y=\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}}=\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{\sqrt{5x-x^2}}.$$

Здесь требуется:

$$x^2-3x-4\ge 0,$$ $$5x-x^2>0,$$

так как знаменатель не должен обращаться в нуль.

Имеем:

$$x\le -1 \text{ или } x\ge 4,$$ $$0<x<5.$$

Пересечение:

$$D(y)=[4;5).$$

г)

$$y=\sqrt{\frac{g(x)}{f(x)}}=\sqrt{\frac{5x-x^2}{x^2-3x-4}}.$$

Требуется:

$$\frac{5x-x^2}{x^2-3x-4}\ge 0,$$ $$x^2-3x-4\ne 0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{x(5-x)}{(x+1)(x-4)}\ge 0.$$

По знакам получаем:

$$D(y)=(-1;0]\cup[4;5].$$

Ответ: а) $$[4;5]$$; б) $$[-1;0]\cup[4;5]$$; в) $$[4;5)$$; г) $$(-1;0]\cup[4;5].$$