Упр.7.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$f(x)=2-\sqrt{1-x}, \qquad g(x)=\frac{1+2x}{3+x}.$$

Найдём области определения функций.

Для $$f(x)$$ должно выполняться:

$$1-x\ge 0,$$

откуда

$$x\le 1,\qquad D(f)=(-\infty;1].$$

Для $$g(x)$$ нужно, чтобы знаменатель был отличен от нуля:

$$3+x\ne 0,$$

значит

$$x\ne -3,\qquad D(g)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty).$$

а)

$$y=f(x)+g(x).$$

Область определения — пересечение областей определения слагаемых:

$$D(y)=D(f)\cap D(g)=(-\infty;-3)\cup(-3;1].$$

б)

$$y=f(x)-g(x).$$

Аналогично,

$$D(y)=D(f)\cap D(g)=(-\infty;-3)\cup(-3;1].$$

в)

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}=\left(2-\sqrt{1-x}\right)\cdot\frac{3+x}{1+2x}.$$

Кроме условий существования $$f(x)$$ и $$g(x)$$, нужно, чтобы $$g(x)\ne 0$$:

$$1+2x\ne 0,\qquad x\ne -\frac12.$$

Тогда

$$D(y)=D(f)\cap D(g)\cap\left((-\infty;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;+\infty)\right).$$

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;1].$$

г)

$$y=\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1+2x}{(3+x)\left(2-\sqrt{1-x}\right)}.$$

Здесь нужно учесть область определения обеих функций и условие $$f(x)\ne 0$$:

$$2-\sqrt{1-x}\ne 0,$$

$$\sqrt{1-x}\ne 2,$$

$$1-x\ne 4,$$

$$x\ne -3.$$

Итак,

$$D(y)=D(f)\cap D(g)=(-\infty;-3)\cup(-3;1].$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3)\cup(-3;1]$$; б) $$(-\infty;-3)\cup(-3;1]$$; в) $$(-\infty;-3)\cup(-3;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;1]$$; г) $$(-\infty;-3)\cup(-3;1]$$.