Упр.7.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции, учитывая все возможные значения параметра $$a$$:

а) Для функции $$y=\frac{\sqrt{x-a}}{x^2-1}$$ нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:

$$x-a\ge 0,\qquad x^2-1\ne 0.$$

Отсюда

$$x\ge a,\qquad x\ne -1,\qquad x\ne 1.$$

Тогда область определения зависит от значения параметра $$a$$:

• если $$a<-1,$$ то $$D(f)=[a;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty);$$
• если $$a=-1,$$ то $$D(f)=(-1;1)\cup(1;+\infty);$$
• если $$-1<a<1,$$ то $$D(f)=[a;1)\cup(1;+\infty);$$
• если $$a=1,$$ то $$D(f)=(1;+\infty);$$
• если $$a>1,$$ то $$D(f)=[a;+\infty).$$

б) Для функции $$y=\sqrt{1-a|x|}$$ требуется

$$1-a|x|\ge 0.$$

Если $$a\le 0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x\in\mathbb R,$$ значит $$D(f)=\mathbb R.$$

Если $$a>0,$$ то

$$|x|\le \frac1a,$$

то есть

$$-\frac1a\le x\le \frac1a.$$

Следовательно,

• если $$a\le 0,$$ то $$D(f)=\mathbb R;$$
• если $$a>0,$$ то $$D(f)=\left[-\frac1a;\frac1a\right].$$

в) Для функции $$y=\frac{\sqrt{x^2-7x+12}}{x-a}$$ нужно:

$$x^2-7x+12\ge 0,\qquad x-a\ne 0.$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Тогда

$$(x-3)(x-4)\ge 0 \iff x\le 3 \text{ или } x\ge 4.$$

Итак, область определения зависит от положения точки $$a$$ относительно чисел $$3$$ и $$4$$:

• если $$a<3,$$ то $$D(f)=(-\infty;a)\cup(a;3]\cup[4;+\infty);$$
• если $$a=3,$$ то $$D(f)=(-\infty;3)\cup[4;+\infty);$$
• если $$3<a<4,$$ то $$D(f)=(-\infty;3]\cup[4;+\infty);$$
• если $$a=4,$$ то $$D(f)=(-\infty;3]\cup(4;+\infty);$$
• если $$a>4,$$ то $$D(f)=(-\infty;3]\cup[4;a)\cup(a;+\infty).$$

г) Для функции $$y=\frac{a\cdot x^3-\sqrt{-x^2-7x+8}}{1+\sqrt{x-a}}$$ должны выполняться условия:

$$-x^2-7x+8\ge 0,\qquad x-a\ge 0,\qquad 1+\sqrt{x-a}\ne 0.$$

Так как $$\sqrt{x-a}\ge 0,$$ то $$1+\sqrt{x-a}\ne 0$$ всегда. Остаются условия

$$-x^2-7x+8\ge 0,\qquad x\ge a.$$

Решим первое неравенство:

$$x^2+7x-8\le 0,$$

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2},\qquad x_1=-8,\ x_2=1.$$

Значит,

$$x\in[-8;1].$$

Теперь пересекаем с условием $$x\ge a$$:

• если $$a\le -8,$$ то $$D(f)=[-8;1];$$
• если $$-8<a<1,$$ то $$D(f)=[a;1];$$
• если $$a=1,$$ то $$D(f)=\{1\};$$
• если $$a>1,$$ то $$D(f)=\varnothing.$$

Ответ

а) $$a<-1:\ D(f)=[a;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty);$$ $$a=-1:\ D(f)=(-1;1)\cup(1;+\infty);$$ $$-1<a<1:\ D(f)=[a;1)\cup(1;+\infty);$$ $$a=1:\ D(f)=(1;+\infty);$$ $$a>1:\ D(f)=[a;+\infty).$$

б) $$a\le 0:\ D(f)=\mathbb R;$$ $$a>0:\ D(f)=\left[-\frac1a;\frac1a\right].$$

в) $$a<3:\ D(f)=(-\infty;a)\cup(a;3]\cup[4;+\infty);$$ $$a=3:\ D(f)=(-\infty;3)\cup[4;+\infty);$$ $$3<a<4:\ D(f)=(-\infty;3]\cup[4;+\infty);$$ $$a=4:\ D(f)=(-\infty;3]\cup(4;+\infty);$$ $$a>4:\ D(f)=(-\infty;3]\cup[4;a)\cup(a;+\infty).$$

г) $$a\le -8:\ D(f)=[-8;1];$$ $$-8<a<1:\ D(f)=[a;1];$$ $$a=1:\ D(f)=\{1\};$$ $$a>1:\ D(f)=\varnothing.$$