Упр.7.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{\frac{x}{x-1}}$$

Выражение имеет смысл, если

$$\frac{x}{x-1}\ge 0,\qquad x\ne 1.$$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Дробь неотрицательна, когда

$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;0]\cup(1;+\infty).$$

б) $$y=\sqrt{\frac{x-12}{x^2-16x+48}}$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-16x+48=(x-4)(x-12).$$

Тогда

$$\frac{x-12}{(x-4)(x-12)}\ge 0,\qquad x\ne 4,\; x\ne 12.$$

Сокращать на $$x-12$$ нельзя, так как $$x=12$$ исключается из области определения. Исследуем знак дроби:

$$\frac{x-12}{(x-4)(x-12)}=\frac{1}{x-4},\qquad x\ne 12.$$

Тогда нужно, чтобы

$$\frac{1}{x-4}\ge 0,$$

откуда

$$x>4,\qquad x\ne 12.$$

Значит,

$$D(f)=(4;12)\cup(12;+\infty).$$

в) $$y=\sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$$

Упростим дробь:

$$\frac{-4x}{-10-x}=\frac{4x}{10+x}.$$

Требуется

$$\frac{4x}{10+x}\ge 0,\qquad x\ne -10.$$

Знак дроби неотрицателен, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$x<-10 \quad \text{или} \quad x\ge 0.$$

Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;-10)\cup[0;+\infty).$$

г) $$y=\sqrt{\frac{x+11}{x^2+14x+33}}$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2+14x+33=(x+11)(x+3).$$

Тогда

$$\frac{x+11}{(x+11)(x+3)}\ge 0,\qquad x\ne -11,\; x\ne -3.$$

После сокращения получаем

$$\frac{1}{x+3}\ge 0,\qquad x\ne -11.$$

Отсюда

$$x>-3.$$

Итак,

$$D(f)=(-3;+\infty).$$