Упр.7.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=2x^2-1,\quad x\in[-2;1].$$

Парабола направлена ветвями вверх, её вершина имеет координаты $$x_0=0,\quad y_0=-1.$$

Найдём значения функции в вершине и на концах отрезка:

$$y(-2)=2\cdot(-2)^2-1=7,$$

$$y(0)=2\cdot 0^2-1=-1,$$

$$y(1)=2\cdot 1^2-1=1.$$

Наименьшее значение равно $$-1,$$ наибольшее — $$7.$$

Ответ: $$E(f)=[-1;7].$$

б) $$y=\frac{x+1}{x-1},\quad x\in[0;+\infty).$$

Преобразуем:

$$y=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}.$$

При $$x\in[0;+\infty)$$ и $$x\ne 1$$ функция принимает значения:

при $$x\in[0;1)$$ имеем $$y\in(-\infty;-1],$$

при $$x\in(1;+\infty)$$ имеем $$y\in(1;+\infty).$$

Ответ: $$E(f)=(-\infty;-1]\cup(1;+\infty).$$

в) $$y=\sqrt{x+3}-1,\quad x\in(-2;1].$$

Функция $$y=\sqrt{x+3}-1$$ возрастает, поэтому на заданном промежутке наименьшее значение достигается при $$x\to -2+0,$$ а наибольшее — при $$x=1.$$

$$y(-2)=\sqrt{1}-1=0,$$

$$y(1)=\sqrt{4}-1=1.$$

Так как $$x=-2$$ не входит в область определения, значение $$0$$ не достигается.

Ответ: $$E(f)=(0;1].$$

г) $$y=2x^2+2x-1,\quad x\in[-1;2].$$

Найдём вершину параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 2}=-\frac12,$$

$$y_0=2\left(-\frac12\right)^2+2\left(-\frac12\right)-1=\frac12-1-1=-\frac32.$$

Парабола направлена ветвями вверх, значит наименьшее значение равно $$-\frac32.$$

Проверим значения на концах отрезка:

$$y(-1)=2\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)-1=-1,$$

$$y(2)=2\cdot 2^2+2\cdot 2-1=11.$$

Наибольшее значение равно $$11.$$

Ответ: $$E(f)=\left[-\frac32;11\right].$$