Упр.7.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{x-5}{2x+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1-6}{x+1} =\frac{1}{2}\left(1-\frac{6}{x+1}\right) =\frac{1}{2}-\frac{3}{x+1}.$$

1) Область определения:

$$x+1\ne 0,\qquad x\ne -1.$$

2) Множество значений:

$$y\ne \frac{1}{2}.$$

3) Асимптоты гиперболы:

$$x=-1,\qquad y=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, график функции — гипербола.

б) Для дробно-линейной функции

$$y=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\ne 0,\qquad \frac{a}{c}\ne \frac{b}{d},$$

выразим $$x$$ через $$y$$:

$$ycx+yd=ax+b,$$

$$ycx-ax=b-yd,$$

$$x(yc-a)=b-yd,$$

$$x=\frac{b-yd}{yc-a}.$$

Тогда

$$yc-a\ne 0,\qquad y\ne \frac{a}{c}.$$

Из условия определения функции также имеем

$$cx+d\ne 0,\qquad x\ne -\frac{d}{c}.$$

Значит, у дробно-линейной функции две асимптоты:

$$x=-\frac{d}{c},\qquad y=\frac{a}{c}.$$

Следовательно, её графиком является гипербола.

Ответ: а) $$x=-1,\ y=\frac{1}{2}.$$ б) $$x=-\frac{d}{c},\ y=\frac{a}{c}.$$