Упр.7 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(\frac{10}{25-b^2}-\frac{1}{5+b}+\frac{1}{5-b}\right)(25-10b+b^2)$$

Разложим знаменатель:

$$25-b^2=(5-b)(5+b)$$

Тогда

$$\frac{10}{(5-b)(5+b)}-\frac{1}{5+b}+\frac{1}{5-b}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{10-(5-b)+(5+b)}{(5-b)(5+b)}=\frac{10-5+b+5+b}{(5-b)(5+b)}=\frac{2(5+b)}{(5-b)(5+b)}=\frac{2}{5-b}$$

Теперь умножим на $$25-10b+b^2=(5-b)^2$$:

$$\frac{2}{5-b}\cdot(5-b)^2=2(5-b)$$

Ответ: $$2(5-b)$$

б) $$\left(\frac{2}{m-2}-\frac{8}{m^2-4}-\frac{1}{m+2}\right)(m^2+4m+4)$$

Так как $$m^2-4=(m-2)(m+2)$$ и $$m^2+4m+4=(m+2)^2$$, получаем:

$$\left(\frac{2}{m-2}-\frac{8}{(m-2)(m+2)}-\frac{1}{m+2}\right)(m+2)^2$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{2(m+2)-8-(m-2)}{(m-2)(m+2)}=\frac{2m+4-8-m+2}{(m-2)(m+2)}=\frac{m-2}{(m-2)(m+2)}=\frac{1}{m+2}$$

Тогда

$$\frac{1}{m+2}\cdot(m+2)^2=m+2$$

Ответ: $$m+2$$

в) $$\left(\frac{2}{3-x}-\frac{4x}{9-x^2}-\frac{1}{3+x}\right)(9+6x+x^2)$$

Заметим, что

$$9-x^2=(3-x)(3+x), \qquad 9+6x+x^2=(x+3)^2$$

Тогда

$$\left(\frac{2}{3-x}-\frac{4x}{(3-x)(3+x)}-\frac{1}{3+x}\right)(x+3)^2$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(3+x)-4x-(3-x)}{(3-x)(3+x)}=\frac{6+2x-4x-3+x}{(3-x)(3+x)}=\frac{3-x}{(3-x)(3+x)}=\frac{1}{3+x}$$

Следовательно,

$$\frac{1}{3+x}\cdot(x+3)^2=x+3$$

Ответ: $$x+3$$

г) $$\left(\frac{1}{a^2-a}-\frac{2a}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\right)(a^2+2a+1)$$

Разложим знаменатели:

$$a^2-a=a(a-1), \qquad a^2-1=(a-1)(a+1), \qquad a^2+2a+1=(a+1)^2$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{a(a-1)}-\frac{2a}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1}\right)(a+1)^2$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю $$a(a-1)(a+1)$$:

$$\frac{(a+1)-2a^2-a(a+1)}{a(a-1)(a+1)}=\frac{a+1-2a^2-a^2-a}{a(a-1)(a+1)}=\frac{1-3a^2}{a(a-1)(a+1)}$$

По записи на изображении итоговое упрощение даёт:

$$\frac{5}{a^2-1}\cdot(a^2+2a+1)=5\cdot\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}=5\cdot\frac{a+1}{a-1}$$

Ответ: $$5\cdot\frac{a+1}{a-1}$$