Упр.7.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для каждой квадратичной функции найдём координаты вершины параболы по формуле $$x_0=-\frac{b}{2a}$$, затем вычислим $$y_0=f(x_0)$$. Так как у параболы с $$a>0$$ ветви направлены вверх, а с $$a<0$$ — вниз, по вершине сразу определим множество значений.

1. $$y=x^2-6x+8$$

   $$x_0=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3,$$
   $$y_0=3^2-6\cdot 3+8=9-18+8=-1.$$

   Вершина параболы: $$\left(3;\,-1\right)$$.

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$y\ge -1$$.

2. $$y=-x^2+2x+3$$

   $$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$
   $$y_0=-1^2+2\cdot 1+3=-1+2+3=4.$$

   Вершина параболы: $$\left(1;\,4\right)$$.

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$y\le 4$$.

3. $$y=x^2+4x+7$$

   $$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$
   $$y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)+7=4-8+7=3.$$

   Вершина параболы: $$\left(-2;\,3\right)$$.

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$y\ge 3$$.

4. $$y=-2x^2-6x+1$$

   $$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-2)}=-\frac{6}{-4}=-1{,}5,$$
   $$y_0=-2\cdot(-1{,}5)^2-6\cdot(-1{,}5)+1=-4{,}5+9+1=5{,}5.$$

   Вершина параболы: $$\left(-1{,}5;\,5{,}5\right)$$.

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.

   Множество значений: $$y\le 5{,}5$$.

Ответ: а) $$\left(3;\,-1\right)$$, $$y\ge -1$$; б) $$\left(1;\,4\right)$$, $$y\le 4$$; в) $$\left(-2;\,3\right)$$, $$y\ge 3$$; г) $$\left(-1{,}5;\,5{,}5\right)$$, $$y\le 5{,}5$$.