Упр.66 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

От пристани А до пристани В, расстояние между которыми $$10\ \text{км}$$, вниз по течению реки отправился плот. Через некоторое время вслед за ним отправился катер, который догнал плот через $$15\ \text{мин}$$ и тут же, не меняя своей скорости, повернул обратно. Известно, что плот причалил к пристани В на $$54\ \text{мин}$$ позже, чем катер к пристани А. Найдите собственную скорость катера и время движения плота до момента начала движения катера от пристани А, если скорость течения реки $$2\ \text{км/ч}$$, а собственная скорость движения катера больше $$10\ \text{км/ч}$$.

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера, а $$t$$ ч — время, через которое катер начал движение после плота. Тогда скорость плота равна $$2$$ км/ч, скорость катера по течению — $$x+2$$ км/ч, против течения — $$x-2$$ км/ч.

Через $$15$$ мин $$=0{,}25$$ ч катер догнал плот, значит, они прошли одинаковые расстояния:

$$0{,}25(x+2)=2(t+0{,}25).$$

Отсюда

$$0{,}25x+0{,}5=2t+0{,}5,$$

$$0{,}25x=2t,$$

$$x=8t.$$

После встречи катер повернул обратно и дошёл до пристани $$A$$, а плот за это время прошёл оставшийся путь до пристани $$B$$. По условию плот причалил к $$B$$ на $$54$$ мин $$=0{,}9$$ ч позже, чем катер к $$A$$, поэтому

$$\frac{0{,}25(x+2)}{x-2}+\frac{9}{10}=\frac{10-2(t+0{,}25)}{2}.$$

Подставим $$x=8t$$:

$$\frac{0{,}25(8t+2)}{8t-2}+\frac{9}{10}=\frac{10-2t-0{,}5}{2}.$$

Упростим:

$$\frac{2t+0{,}5}{8t-2}+\frac{9}{10}=4{,}75-t.$$

После преобразований получаем квадратное уравнение:

$$40t^2-154t+41=0.$$

$$D=154^2-4\cdot 40\cdot 41=17156=4\cdot 4289,$$

$$t=\frac{154\pm 2\sqrt{4289}}{80}=\frac{77\pm \sqrt{4289}}{40}.$$

С учётом условия $$x>10$$ и $$x=8t$$ подходит корень

$$t=\frac{77+\sqrt{4289}}{40}\approx 3{,}56,$$

тогда