Упр.62 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере собирать лекарственные травы. Проплыв вниз по течению реки $$35\ \text{км}$$, они сделали трёхчасовую остановку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если всё путешествие заняло $$7\ \text{ч}$$, а скорость течения реки равна $$3\ \text{км/ч}$$.

Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.

Время движения по течению:

$$\frac{35}{x+3}$$

Время движения против течения:

$$\frac{35}{x-3}$$

По условию всё путешествие заняло $$7$$ ч, из них $$3$$ ч — остановка. Значит, на движение ушло $$4$$ ч:

$$\frac{35}{x+3}+\frac{35}{x-3}=4.$$

Умножим обе части на $$\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$:

$$35(x-3)+35(x+3)=4(x+3)(x-3).$$

$$35x-105+35x+105=4(x^2-9),$$

$$70x=4x^2-36,$$

$$4x^2-70x-36=0,$$

$$2x^2-35x-18=0.$$

Найдём корни:

$$D=35^2+4\cdot 2\cdot 18=1225+144=1369,$$

$$x_{1,2}=\frac{35\pm 37}{4}.$$

Тогда

$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=18.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, получаем $$x=18$$.

Ответ: $$18$$ км/ч.