Упр.60 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Велосипедист проехал $$96\ \text{км}$$ на $$2\ \text{ч}$$ быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на $$1\ \text{км}$$ больше, чем намеревался проезжать за $$1\ \text{ч}\ 15\ \text{мин}$$. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть $$x$$ км/ч — планируемая скорость велосипедиста, а $$y$$ км/ч — его фактическая скорость.

Тогда за каждый час он проезжал на $$1$$ км больше, чем намеревался проезжать за $$1$$ час $$15$$ минут, то есть за $$\frac{5}{4}$$ часа:

$$y=\frac{5}{4}x+1.$$

По условию велосипедист проехал $$96$$ км на $$2$$ часа быстрее, чем предполагал, значит:

$$\frac{96}{x}=\frac{96}{y}+2.$$

Подставим выражение для $$y$$:

$$\frac{96}{x}=\frac{96}{\frac{5}{4}x+1}+2.$$

Умножим обе части на $$x\left(\frac{5}{4}x+1\right)$$:

$$96\left(\frac{5}{4}x+1\right)=96x+2x\left(\frac{5}{4}x+1\right).$$

Раскроем скобки:

$$120x+96=96x+\frac{5}{2}x^2+2x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{5}{2}x^2-22x-96=0.$$

Умножим на $$2$$:

$$5x^2-44x-192=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-44)^2-4\cdot 5\cdot(-192)=1936+3840=5776,$$

$$\sqrt{D}=76.$$

Тогда

$$x=\frac{44\pm 76}{10}.$$

Получаем:

$$x_1=-3{,}2,\qquad x_2=12.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, берём $$x=12$$ км/ч.

Тогда фактическая скорость:

$$y=\frac{5}{4}\cdot 12+1=15+1=16.$$

Ответ: $$16$$ км/ч.