Упр.6.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим сумму
$$S_n=\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}.$$
Докажем формулу $$S_n=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$$ по индукции.
1) При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1^2}{1\cdot 3}=\frac13,$$
а по формуле
$$\frac{1\cdot(1+1)}{2(2\cdot 1+1)}=\frac{2}{6}=\frac13.$$
2) Пусть для $$n-1$$ формула верна:
$$S_{n-1}=\frac{(n-1)n}{2(2n-1)}.$$
Тогда
$$S_n-S_{n-1} =\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}.$$
Действительно,
$$S_n-S_{n-1} =\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}-\frac{(n-1)n}{2(2n-1)} =\frac{n}{2}\left(\frac{n+1}{2n+1}-\frac{n-1}{2n-1}\right) =\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}.$$
Значит, формула верна и для $$n$$. Следовательно, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
б) Рассмотрим сумму
$$S_n=\frac1{1\cdot 2\cdot 3}+\frac1{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\frac1{n(n+1)(n+2)}.$$
Докажем формулу
$$S_n=\frac12\left(\frac12-\frac1{(n+1)(n+2)}\right).$$
1) При $$n=1$$:
$$S_1=\frac1{1\cdot 2\cdot 3}=\frac16,$$
и по формуле
$$\frac12\left(\frac12-\frac1{2\cdot 3}\right)=\frac12\left(\frac12-\frac16\right)=\frac16.$$
2) Пусть для $$n-1$$ формула верна:
$$S_{n-1}=\frac12\left(\frac12-\frac1{n(n+1)}\right).$$
Тогда
$$S_n-S_{n-1} =\frac1{n(n+1)(n+2)}.$$
Действительно,
$$S_n-S_{n-1} =\frac12\left(\frac12-\frac1{(n+1)(n+2)}\right)-\frac12\left(\frac12-\frac1{n(n+1)}\right) =\frac1{2}\left(\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\right) =\frac1{n(n+1)(n+2)}.$$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
в) Рассмотрим сумму
$$S_n=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}+\frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}.$$
Докажем формулу
$$S_n=\frac{n(n+1)}{n+2}.$$
1) При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}=\frac23,$$
а по формуле
$$\frac{1\cdot 2}{1+2}=\frac23.$$
2) Пусть для $$n-1$$ формула верна:
$$S_{n-1}=\frac{(n-1)n}{n+1}.$$
Тогда
$$S_n-S_{n-1} =\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}-\frac{(n-1)n}{n+1} =\frac{n}{n+1}\left(\frac{n+3}{n+2}-(n-1)\right) =\frac{n}{(n+1)(n+2)}.$$
Следовательно,
$$S_n=S_{n-1}+\frac{n}{(n+1)(n+2)} =\frac{(n-1)n}{n+1}+\frac{n}{(n+1)(n+2)} =\frac{n(n+1)}{n+2}.$$
Формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
г) Рассмотрим сумму
$$S_n=\frac{1^2}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{2^2}{3\cdot 5\cdot 7}+\cdots+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}.$$
Докажем формулу
$$S_n=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}.$$
1) При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1^2}{1\cdot 3\cdot 5}=\frac1{15},$$
а по формуле
$$\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac1{15}.$$
2) Пусть для $$n-1$$ формула верна:
$$S_{n-1}=\frac{(n-1)n}{2(2n-1)(2n+1)}.$$
Тогда
$$S_n-S_{n-1} =\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}.$$
Действительно,
$$S_n-S_{n-1} =\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}-\frac{(n-1)n}{2(2n-1)(2n+1)} =\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}.$$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
