Упр.6.7(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажем по индукции формулу суммы кубов.

Пусть

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$1^3=1=\left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^2.$$

Формула верна.

2. Индукционный переход. Предположим, что для $$n=k$$ формула верна:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2.$$

Докажем её для $$n=k+1$$:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3.$$

Вынесем $$k+1$$ за скобки:

$$\left(\frac{k^2(k+1)^2}{4}\right)+(k+1)^3=(k+1)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right).$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{k^2}{4}+k+1=\frac{k^2+4k+4}{4}=\frac{(k+2)^2}{4}.$$

Тогда

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(k+1)^2\cdot \frac{(k+2)^2}{4}=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2.$$

Это и требовалось доказать.

Ответ

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$