Упр.6.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Докажем по индукции, что
$$S_n=1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
1) При $$n=1$$ получаем:
$$S_1=1\cdot(1+1)^2=2^2=4.$$
Формула верна.
2) Предположим, что для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=k(k+1)^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$S_{k+1}=S_k+(k+1)(3(k+1)+1)$$
$$S_{k+1}=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)$$
$$S_{k+1}=(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr) =(k+1)(k^2+4k+4) =(k+1)(k+2)^2.$$
Значит, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.
б) Докажем, что
$$S_n=1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$
1) При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1\cdot(1+1)(1+2)}{3}=\frac{2\cdot 3}{3}=2.$$
Формула верна.
2) Пусть для $$n=k$$:
$$S_k=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+(k+1)(k+2)$$
$$S_{k+1}=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$$
$$S_{k+1}=(k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right) =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}.$$
Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.
в) Докажем, что
$$S_n=1\cdot 3+3\cdot 5+\dots+(2n-1)(2n+1)=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}.$$
1) При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1\cdot(4\cdot 1^2+6\cdot 1-1)}{3}=\frac{9}{3}=3.$$
Формула верна.
2) Пусть для $$n=k$$:
$$S_k=\frac{k(4k^2+6k-1)}{3}.$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+(2k+1)(2k+3)$$
$$S_{k+1}=\frac{k(4k^2+6k-1)}{3}+(2k+1)(2k+3)$$
$$S_{k+1}=\frac{4k^3+6k^2-k+12k^2+12k+3}{3} =\frac{4k^3+18k^2+11k+3}{3}$$
$$=\frac{(k+1)\bigl(4(k+1)^2+6(k+1)-1\bigr)}{3}.$$
Значит, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.
г) Докажем, что
$$S_n=2\cdot 5+5\cdot 8+8\cdot 11+\dots+(3n-1)(3n+2)=n(3n^2+6n+1).$$
1) При $$n=1$$:
$$S_1=1\cdot(3\cdot 1^2+6\cdot 1+1)=10.$$
Формула верна.
2) Пусть для $$n=k$$:
$$S_k=k(3k^2+6k+1).$$
Тогда
$$S_{k+1}=S_k+(3k+2)(3k+5)$$
$$S_{k+1}=k(3k^2+6k+1)+(3k+2)(3k+5)$$
$$S_{k+1}=3k^3+15k^2+22k+10 =(k+1)\bigl(3(k+1)^2+6(k+1)+1\bigr).$$
Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.
Ответ
а) $$S_n=n(n+1)^2$$; б) $$S_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$$; в) $$S_n=\dfrac{n(4n^2+6n-1)}{3}$$; г) $$S_n=n(3n^2+6n+1)$$.
