Упр.6.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Докажем формулы методом математической индукции.
а)
$$S_n=1^2+4^2+7^2+\dots+(3n-2)^2=\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}.$$
1. База индукции. При $$n=1$$:
$$S_1=1^2=1,$$
а по формуле
$$\frac{1\cdot(6\cdot1^2-3\cdot1-1)}{2}=\frac{6-3-1}{2}=1.$$
Формула верна.
2. Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=\frac{k(6k^2-3k-1)}{2}.$$
Докажем, что тогда она верна и для $$n=k+1$$:
$$\begin{aligned} S_{k+1}&=S_k+(3k+1)^2 \\ &=\frac{k(6k^2-3k-1)}{2}+(3k+1)^2 \\ &=\frac{6k^3-3k^2-k+18k^2+12k+2}{2} \\ &=\frac{6k^3+15k^2+11k+2}{2}. \end{aligned}$$
С другой стороны,
$$\frac{(k+1)\bigl(6(k+1)^2-3(k+1)-1\bigr)}{2} =\frac{(k+1)(6k^2+9k+2)}{2} =\frac{6k^3+15k^2+11k+2}{2}.$$
Значит, формула верна и для $$n=k+1$$. Следовательно, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
б)
$$S_n=1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}.$$
1. База индукции. При $$n=1$$:
$$S_1=1^2=1,$$
а по формуле
$$\frac{1\cdot(4\cdot1^2-1)}{3}=\frac{3}{3}=1.$$
Формула верна.
2. Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=\frac{k(4k^2-1)}{3}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} S_{k+1}&=S_k+(2k+1)^2 \\ &=\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2 \\ &=\frac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3} \\ &=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}. \end{aligned}$$
С другой стороны,
$$\frac{(k+1)\bigl(4(k+1)^2-1\bigr)}{3} =\frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3} =\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}.$$
Следовательно, формула верна для $$n=k+1$$, а значит, для всех $$n\in\mathbb N$$.
в)
$$S_n=3^2+7^2+10^2+\dots+(4n-1)^2=\frac{n(16n^2+12n-1)}{3}.$$
1. База индукции. При $$n=1$$:
$$S_1=3^2=9,$$
а по формуле
$$\frac{1\cdot(16\cdot1^2+12\cdot1-1)}{3}=\frac{27}{3}=9.$$
Формула верна.
2. Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=\frac{k(16k^2+12k-1)}{3}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} S_{k+1}&=S_k+(4k+3)^2 \\ &=\frac{k(16k^2+12k-1)}{3}+(4k+3)^2 \\ &=\frac{16k^3+12k^2-k+48k^2+72k+27}{3} \\ &=\frac{16k^3+60k^2+71k+27}{3}. \end{aligned}$$
С другой стороны,
$$\frac{(k+1)\bigl(16(k+1)^2+12(k+1)-1\bigr)}{3} =\frac{(k+1)(16k^2+44k+27)}{3} =\frac{16k^3+60k^2+71k+27}{3}.$$
Значит, формула верна для $$n=k+1$$, следовательно, для всех $$n\in\mathbb N$$.
г)
$$S_n=1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$
1. База индукции. При $$n=1$$:
$$S_1=1^3=1,$$
а по формуле
$$1^2(2\cdot1^2-1)=1.$$
Формула верна.
2. Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=k^2(2k^2-1).$$
Тогда
$$\begin{aligned} S_{k+1}&=S_k+(2k+1)^3 \\ &=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3 \\ &=2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1 \\ &=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1. \end{aligned}$$
С другой стороны,
$$(k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr) =(k+1)^2(2k^2+4k+1) =2k^4+8k^3+11k^2+6k+1.$$
Следовательно, формула верна для $$n=k+1$$, а значит, и для всех $$n\in\mathbb N$$.
Ответ: все четыре формулы верны.
