Упр.6.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим сумму
$$S_n=1+2+4+8+\dots+2^{n-1}.$$
Это геометрическая прогрессия с первым членом $$a_1=1$$ и знаменателем $$q=2$$. Тогда
$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1\cdot(2^n-1)}{2-1}=2^n-1.$$
Проверим по индукции:
1) при $$n=1$$ имеем
$$S_1=1=2^1-1.$$
2) Пусть для некоторого $$n$$ верно $$S_n=2^n-1$$. Тогда
$$S_{n+1}=S_n+2^n=(2^n-1)+2^n=2^{n+1}-1.$$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
б) Для суммы
$$S_n=1+\frac13+\frac19+\dots+\frac{1}{3^{\,n-1}}$$
получаем геометрическую прогрессию с $$a_1=1$$, $$q=\frac13$$. Тогда
$$S_n=\frac{1-\left(\frac13\right)^n}{1-\frac13} =\frac{1-\frac1{3^n}}{\frac23} =\frac32\left(1-\frac1{3^n}\right) =1{,}5-\frac{1{,}5}{3^n}.$$
Проверка по индукции:
1) при $$n=1$$
$$S_1=1{,}5-\frac{1{,}5}{3}=1.$$
2) Если $$S_n=1{,}5-\frac{1{,}5}{3^n}$$, то
$$S_{n+1}=S_n+\frac1{3^n} =1{,}5-\frac{1{,}5}{3^n}+\frac1{3^n} =1{,}5-\frac{1{,}5}{3^{n+1}}.$$
Формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
в) Для суммы
$$S_n=3-9+27-81+\dots-(-3)^n$$
это геометрическая прогрессия с $$a_1=3$$ и $$q=-3$$. Тогда
$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} =\frac{3\bigl(1-(-3)^n\bigr)}{1-(-3)} =\frac34\bigl(1-(-3)^n\bigr).$$
Проверка по индукции:
1) при $$n=1$$
$$S_1=\frac34(1-(-3))=\frac34\cdot4=3.$$
2) Если $$S_n=\frac34\bigl(1-(-3)^n\bigr)$$, то
$$S_{n+1}=S_n+(-3)^{n+1} =\frac34\bigl(1-(-3)^n\bigr)+(-3)^{n+1} =\frac34\bigl(1-(-3)^{n+1}\bigr).$$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
г) Для суммы
$$S_n=1+0{,}1+0{,}01+\dots+0{,}00\dots 01$$
имеем геометрическую прогрессию с $$a_1=1$$, $$q=0{,}1$$. Тогда
$$S_n=\frac{1-0{,}1^n}{1-0{,}1} =\frac{1-0{,}1^n}{0{,}9} =\frac{10-10\cdot 0{,}1^n}{9} =\frac{10-0{,}1^{\,n-1}}{9}.$$
Проверка по индукции:
1) при $$n=1$$
$$S_1=\frac{10-0{,}1^{\,0}}{9}=\frac{10-1}{9}=1.$$
2) Если $$S_n=\frac{10-0{,}1^{\,n-1}}{9}$$, то
$$S_{n+1}=S_n+0{,}1^n =\frac{10-0{,}1^{\,n-1}}{9}+0{,}1^n =\frac{10-0{,}1^n}{9}.$$
Формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } S_n=2^n-1,\\ &\text{б) } S_n=1{,}5-\frac{1{,}5}{3^n},\\ &\text{в) } S_n=\frac34\bigl(1-(-3)^n\bigr),\\ &\text{г) } S_n=\frac{10-0{,}1^{\,n-1}}{9}. \end{aligned}$$
