Упр.6.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажем формулы по индукции.

а)

$$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{1\cdot(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

2) Пусть для некоторого $$n\in \mathbb{N}$$ верно:

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

б)

$$S_n=1+4+7+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{1\cdot(3\cdot1-1)}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

2) Пусть

$$S_n=\frac{n(3n-1)}{2}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+(3n+1)=\frac{n(3n-1)}{2}+(3n+1)=\frac{(n+1)(3n+2)}{2}.$$

Значит, формула верна для всех $$n\in \mathbb{N}$$.

в)

$$S_n=5+6+7+\dots+(n+4)=\frac{n(n+9)}{2}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{1(1+9)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

2) Пусть

$$S_n=\frac{n(n+9)}{2}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+(n+5)=\frac{n(n+9)}{2}+(n+5)=\frac{(n+1)(n+10)}{2}.$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

г)

$$S_n=1{,}6+3{,}1+4{,}6+\dots+(1{,}5n+0{,}1)=\frac{n(3n+3{,}4)}{4}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{1\cdot(3\cdot1+3{,}4)}{4}=\frac{6{,}4}{4}=1{,}6.$$

2) Пусть

$$S_n=\frac{n(3n+3{,}4)}{4}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+(1{,}5n+1{,}6)=\frac{n(3n+3{,}4)}{4}+(1{,}5n+1{,}6) =\frac{(n+1)(3n+6{,}4)}{4}.$$

Значит, формула верна для всех $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

Все формулы верны.