Упр.6.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите методом математической индукции, что у выпуклого $$n$$-угольника ($$n>3$$): а) сумма внутренних углов равна $$180^\circ(n-2)$$.

Подробный ответ

Докажем утверждения методом математической индукции.

а) Сумма внутренних углов выпуклого $$n$$-угольника

Обозначим через $$S_n$$ сумму внутренних углов выпуклого $$n$$-угольника. Нужно доказать, что

$$S_n=180^\circ(n-2), \quad n\ge 3.$$

1. База индукции. При $$n=3$$ имеем треугольник, и

$$S_3=180^\circ=180^\circ(3-2).$$

Формула верна.

2. Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$n\ge 3$$ формула верна, то есть

$$S_n=180^\circ(n-2).$$

Рассмотрим выпуклый $$(n+1)$$-угольник. Его можно получить из $$n$$-угольника, добавив одну вершину, при этом сумма внутренних углов увеличится на $$180^\circ$$:

$$S_{n+1}=S_n+180^\circ.$$

Тогда

$$S_{n+1}=180^\circ(n-2)+180^\circ=180^\circ(n-1)=180^\circ\bigl((n+1)-2\bigr).$$

Следовательно, формула верна и для $$n+1$$.

По принципу математической индукции

$$S_n=180^\circ(n-2)$$

для всех $$n\ge 3$$.

б) Число диагоналей выпуклого $$n$$-угольника

Обозначим через $$D_n$$ число диагоналей выпуклого $$n$$-угольника. Нужно доказать, что

$$D_n=\frac{n(n-3)}{2}, \quad n\ge 3.$$

1. База индукции. При $$n=3$$ имеем треугольник, у него диагоналей нет:

$$D_3=0=\frac{3(3-3)}{2}.$$

Формула верна.

2. Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$n\ge 3$$

$$D_n=\frac{n(n-3)}{2}.$$

При переходе от $$n$$-угольника к $$(n+1)$$-угольнику число диагоналей увеличивается на $$n-2$$, так как новая вершина соединяется диагоналями со всеми вершинами, кроме двух соседних:

$$D_{n+1}=D_n+(n-2).$$

Тогда

$$D_{n+1}=\frac{n(n-3)}{2}+(n-2) =\frac{n(n-3)+2n-4}{2} =\frac{n^2-n-4}{2}.$$

С другой стороны,

$$\frac{(n+1)\bigl((n+1)-3\bigr)}{2} =\frac{(n+1)(n-2)}{2} =\frac{n^2-n-2}{2},$$

поэтому удобнее записать переход сразу в виде

$$D_{n+1}=D_n+(n-2)=\frac{n(n-3)}{2}+(n-2) =\frac{n^2-n-4}{2} =\frac{(n+1)(n-2)}{2}.$$

Значит,

$$D_{n+1}=\frac{(n+1)\bigl((n+1)-3\bigr)}{2}.$$

Следовательно, формула верна для всех $$n\ge 3$$.