Упр.6.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что любое натуральное число $$h>4$$ можно представить в виде $$h=3m+5n$$, где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.

При $$h=5$$ утверждение верно:

$$5=3\cdot 0+5\cdot 1.$$

Докажем переход от числа $$h_k$$ к следующему числу $$h_{k+1}=h_k+1$$.

Пусть для некоторого натурального $$h_k>4$$ выполнено

$$h_k=3m_k+5n_k,$$

где $$m_k$$ и $$n_k$$ — целые числа. Тогда

$$\begin{aligned} h_{k+1}&=h_k+1\\ &=(3m_k+5n_k)+1\\ &=3m_k+6+5n_k-5\\ &=3(m_k+2)+5(n_k-1). \end{aligned}$$

Значит, $$h_{k+1}$$ тоже представимо в виде $$3m+5n$$, где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.

Следовательно, по принципу математической индукции любое натуральное число $$h>4$$ можно представить в виде $$h=3m+5n$$, где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.

Ответ

Любое натуральное число $$h>4$$ представимо в виде $$h=3m+5n$$, где $$m,n\in \mathbb{Z}$$.