Упр.6.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что количество разных непустых наборов, которые можно сделать из $$n$$ различных предметов, равно $$2^n-1$$.
б) Докажите, что $$n$$ различных предметов можно расставить в ряд $$n!$$ способами.

а) Обозначим через $$Q_n$$ число всех различных непустых наборов из $$n$$ различных предметов.

Для одного предмета такой набор только один, значит $$Q_1=1$$.

При добавлении нового предмета каждый уже имеющийся набор либо остаётся без него, либо дополняется этим предметом. Поэтому число наборов удваивается, а ещё появляется один новый набор, состоящий только из этого предмета:

$$Q_{n+1}=2Q_n+1.$$

Проверим формулу $$Q_n=2^n-1$$:

$$Q_1=2^1-1=1.$$

Если для некоторого $$n$$ верно $$Q_n=2^n-1$$, то

$$Q_{n+1}=2Q_n+1=2(2^n-1)+1=2^{n+1}-1.$$

Следовательно, $$Q_n=2^n-1$$ для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

б) Обозначим через $$P_n$$ число способов расставить в ряд $$n$$ различных предметов.

Для одного предмета имеем $$P_1=1$$.

Если уже расставлено $$n-1$$ предметов, то при добавлении $$n$$-го предмета его можно поставить на любое из $$n$$ мест. Значит,

$$P_n=nP_{n-1}.$$

Проверим формулу $$P_n=n!$$:

$$P_1=1=1!.$$

Если для некоторого $$n$$ верно $$P_n=n!$$, то

$$P_{n+1}=(n+1)P_n=(n+1)n!=(n+1)!.$$

Следовательно, $$P_n=n!$$ для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

а) $$Q_n=2^n-1$$; б) $$P_n=n!$$.