Упр.6.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Обозначим через $$C_n^k$$ число сочетаний из $$n$$ предметов по $$k$$.

а)

Докажем формулу для числа сочетаний из $$n$$ предметов по два:

$$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, \quad n\ge 2.$$

База индукции: при $$n=2$$ имеем

$$C_2^2=\frac{2\cdot(2-1)}{2}=1.$$

Переход: предположим, что для некоторого $$n$$ верно

$$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Тогда для $$n+1$$ получаем:

$$C_{n+1}^2=C_n^2+n=\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{n(n-1)+2n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Значит, формула верна для всех $$n\ge 2$$.

б)

Докажем формулу для числа сочетаний из $$n$$ предметов по три:

$$C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad n\ge 3.$$

База индукции: при $$n=3$$

$$C_3^3=\frac{3\cdot(3-1)\cdot(3-2)}{6}=\frac{3\cdot2\cdot1}{6}=1.$$

Переход: пусть для некоторого $$n$$ верно

$$C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$

Тогда

$$C_{n+1}^3=C_n^3+\frac{n(n-1)}{2}$$

и, подставляя формулу для $$C_n^3$$, получаем

$$C_{n+1}^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}+\frac{n(n-1)}{2} =\frac{n(n-1)(n-2)+3n(n-1)}{6}$$

$$=\frac{n(n-1)\bigl((n-2)+3\bigr)}{6} =\frac{n(n-1)(n+1)}{6}.$$

Следовательно, формула верна для всех $$n\ge 3$$.

Ответ

$$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, \quad C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$