Упр.6.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Выведите формулу n-го члена последовательности $$a_n$$, заданной рекуррентным соотношением:
а) Докажем, что при $$a_1=0$$ и $$a_{n+1}=a_n+n$$ выполняется формула
$$a_n=\frac{(n-1)n}{2}.$$
Проверим при $$n=1$$:
$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1}{2}=0.$$
Пусть для некоторого $$n=k$$ верно
$$a_k=\frac{(k-1)k}{2}.$$
Тогда
$$a_{k+1}=a_k+k=\frac{(k-1)k}{2}+k=\frac{k^2-k+2k}{2}=\frac{k^2+k}{2}=\frac{k(k+1)}{2}.$$
Значит, формула верна и для $$n=k+1$$. Следовательно,
$$a_n=\frac{(n-1)n}{2}.$$
б) Докажем, что при $$a_1=0$$ и $$a_{n+1}=a_n+n^2$$ выполняется формула
$$a_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)}{6}=0.$$
Пусть для $$n=k$$ верно
$$a_k=\frac{(k-1)k(2k-1)}{6}.$$
Тогда
$$a_{k+1}=a_k+k^2=\frac{(k-1)k(2k-1)}{6}+k^2 =\frac{2k^3-3k^2+k+6k^2}{6} =\frac{2k^3+3k^2+k}{6}.$$
С другой стороны,
$$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} =\frac{2k^3+3k^2+k}{6}.$$
Значит,
$$a_{k+1}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6},$$
то есть формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
в) Докажем, что при $$a_1=-13$$ и $$a_{n+1}=a_n+3n$$ выполняется формула
$$a_n=\frac{(3n-29)n}{2}.$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{(3\cdot 1-29)\cdot 1}{2}=\frac{-26}{2}=-13.$$
Пусть для $$n=k$$ верно
$$a_k=\frac{(3k-29)k}{2}.$$
Тогда
$$a_{k+1}=a_k+3k=\frac{(3k-29)k}{2}+3k =\frac{3k^2-29k+6k}{2} =\frac{3k^2-23k}{2}.$$
С другой стороны,
$$\frac{(3(k+1)-29)(k+1)}{2} =\frac{(3k-26)(k+1)}{2} =\frac{3k^2-23k-26}{2},$$
поэтому в исходном тексте здесь допущена ошибка: формула $$\frac{(3n-29)n}{2}$$ не согласуется с рекуррентным соотношением $$a_{n+1}=a_n+3n$$. Для этой рекуррентной формулы правильный вид общего члена должен быть
$$a_n=a_1+3(1+2+\dots+(n-1))=-13+\frac{3(n-1)n}{2}.$$
Итак,
$$a_n=-13+\frac{3(n-1)n}{2}=\frac{3n^2-3n-26}{2}.$$
г) Докажем, что при $$a_1=0$$ и $$a_{n+1}=a_n+n^3$$ выполняется формула
$$a_n=\frac{(n-1)^2n^2}{4}.$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{(1-1)^2\cdot 1^2}{4}=0.$$
Пусть для $$n=k$$ верно
$$a_k=\frac{(k-1)^2k^2}{4}.$$
Тогда
$$a_{k+1}=a_k+k^3=\frac{(k-1)^2k^2}{4}+k^3 =\frac{k^4-2k^3+k^2+4k^3}{4} =\frac{k^4+2k^3+k^2}{4}.$$
С другой стороны,
$$\frac{k^2(k+1)^2}{4} =\frac{k^4+2k^3+k^2}{4}.$$
Следовательно,
$$a_{k+1}=\frac{k^2(k+1)^2}{4},$$
то есть
$$a_n=\frac{(n-1)^2n^2}{4}.$$
