Упр.6.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажем делимость числа $$6^{2n}+3^{n+2}+3^n$$ на $$11$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

При $$n=1$$ получаем:

$$6^{2\cdot 1}+3^{1+2}+3^1=6^2+3^3+3=36+27+3=66,$$

а $$66$$ делится на $$11$$.

Пусть теперь для некоторого $$n=k$$ выражение делится на $$11$$. Тогда

$$\begin{aligned} 6^{2(k+1)}+3^{(k+1)+2}+3^{k+1} &=36\cdot 6^{2k}+3\cdot 3^{k+2}+3\cdot 3^k \\ &=36\cdot 6^{2k}+3\cdot 3^{k+2}+3\cdot 3^k \\ &=-8\bigl(6^{2k}+3^{k+2}+3^k\bigr)+44\cdot 6^{2k}+11\cdot 3^{k+2}+11\cdot 3^k. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$6^{2(k+1)}+3^{(k+1)+2}+3^{k+1} =-8\bigl(6^{2k}+3^{k+2}+3^k\bigr)+11\bigl(4\cdot 6^{2k}+3^{k+2}+3^k\bigr),$$

то есть это число также делится на $$11$$. Значит, делимость верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.

б) Докажем делимость числа $$5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{\,n-1}$$ на $$19$$.

При $$n=1$$:

$$5^{2\cdot 1+1}+3^{1+2}\cdot 2^{1-1}=5^3+3^3\cdot 1=125+27=152,$$

а $$152$$ делится на $$19$$.

Пусть для $$n=k$$ выражение делится на $$19$$. Тогда

$$\begin{aligned} 5^{2(k+1)+1}+3^{(k+1)+2}\cdot 2^{(k+1)-1} &=5^{2k+3}+3^{k+3}\cdot 2^k \\ &=25\cdot 5^{2k+1}+6\cdot 3^{k+2}\cdot 2^{k-1} \\ &=-13\bigl(5^{2k+1}+3^{k+2}\cdot 2^{k-1}\bigr) +38\cdot 5^{2k+1}+19\cdot 3^{k+2}\cdot 2^{k-1}. \end{aligned}$$

Значит,

$$5^{2(k+1)+1}+3^{(k+1)+2}\cdot 2^{(k+1)-1} =-13\bigl(5^{2k+1}+3^{k+2}\cdot 2^{k-1}\bigr)+19\bigl(2\cdot 5^{2k+1}+3^{k+2}\cdot 2^{k-1}\bigr),$$

то есть выражение делится на $$19$$ при любом $$n\in\mathbb{N}$$.

в) Докажем делимость числа $$5^{2+n}+26\cdot 5^n+8^{2n+1}$$ на $$59$$.

При $$n=1$$:

$$5^{2+1}+26\cdot 5^1+8^{2\cdot 1+1}=5^3+26\cdot 5+8^3=125+130+512=767,$$

а $$767$$ делится на $$59$$.

Пусть для $$n=k$$ выражение делится на $$59$$. Тогда

$$\begin{aligned} 5^{2+(k+1)}+26\cdot 5^{k+1}+8^{2(k+1)+1} &=5^{k+3}+26\cdot 5^{k+1}+8^{2k+3} \\ &=5\cdot 5^{k+2}+26\cdot 5\cdot 5^k+64\cdot 8^{2k+1} \\ &=-54\bigl(5^{k+2}+26\cdot 5^k+8^{2k+1}\bigr) +59\bigl(5^{k+2}+26\cdot 5^k+2\cdot 8^{2k+1}\bigr). \end{aligned}$$

Следовательно, выражение делится на $$59$$ при любом $$n\in\mathbb{N}$$.

г) Докажем делимость числа $$5^{n+3}\cdot 2^n-125$$ на $$45$$.

При $$n=1$$:

$$5^{1+3}\cdot 2^1-125=5^4\cdot 2-125=625\cdot 2-125=1125,$$

а $$1125$$ делится на $$45$$.

Пусть для $$n=k$$ выражение делится на $$45$$. Тогда

$$\begin{aligned} 5^{(k+1)+3}\cdot 2^{k+1}-125 &=5^{k+4}\cdot 2^{k+1}-125 \\ &=10\cdot 5^{k+3}\cdot 2^k-125 \\ &=10\bigl(5^{k+3}\cdot 2^k-125\bigr)+1125. \end{aligned}$$

Так как первое слагаемое делится на $$45$$ по предположению, а $$1125$$ делится на $$45$$, то и всё выражение делится на $$45$$.

Ответ: все данные выражения делятся соответственно на $$11$$, $$19$$, $$59$$ и $$45$$ при любом $$n\in\mathbb{N}$$.