Упр.6.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$a_n=\left(11^{6n+3}+1\right):148$$
Проверим при $$n=1$$:
$$a_1=11^{6\cdot 1+3}+1=11^9+1=2357947692,$$
а число $$2357947692$$ делится на $$148$$.
Докажем индукцией, что делимость сохраняется при переходе от $$n$$ к $$n+1$$:
$$\frac{11^{6(n+1)+3}+1}{148} = \frac{11^{6n+9}+1}{148} = \frac{11^6\cdot 11^{6n+3}+1}{148}$$
$$= \frac{11^{6n+3}+1}{148} + \frac{(11^6-1)\cdot 11^{6n+3}}{148} = \frac{a_n}{148}+11970\cdot 11^{6n+3}\in \mathbb{N}.$$
б) $$a_n=\left(7^{2n}-4^{2n}\right):33$$
Проверим при $$n=1$$:
$$a_1=7^2-4^2=49-16=33,$$
значит, число делится на $$33$$.
Переход к следующему члену:
$$\frac{7^{2(n+1)}-4^{2(n+1)}}{33} = \frac{7^{2n+2}-4^{2n+2}}{33} = \frac{49\cdot 7^{2n}-16\cdot 4^{2n}}{33}$$
$$= \frac{33\cdot 7^{2n}-33\cdot 4^{2n}+16\cdot 7^{2n}-16\cdot 4^{2n}}{33} = 7^{2n}-4^{2n}+\frac{16\cdot 7^{2n}-16\cdot 4^{2n}}{33}$$
$$= a_n+\frac{16a_n}{33}\in \mathbb{Z}.$$
в) $$a_n=\left(13^{4n+2}+1\right):85$$
Проверим при $$n=1$$:
$$a_1=13^{4\cdot 1+2}+1=13^6+1=4826810,$$
а число $$4826810$$ делится на $$85$$.
Переход к следующему члену:
$$\frac{13^{4(n+1)+2}+1}{85} = \frac{13^{4n+6}+1}{85} = \frac{13^4\cdot 13^{4n+2}+1}{85}$$
$$= \frac{13^{4n+2}+1}{85} + \frac{(13^4-1)\cdot 13^{4n+2}}{85} = \frac{a_n}{85}+336\cdot 13^{4n+2}\in \mathbb{N}.$$
г) $$a_n=\left(5^{n+3}+11^{3n+1}\right):17$$
Проверим при $$n=1$$:
$$a_1=5^{1+3}+11^{3\cdot 1+1}=5^4+11^4=625+14641=15266,$$
а число $$15266$$ делится на $$17$$.
Переход к следующему члену:
$$\frac{5^{(n+1)+3}+11^{3(n+1)+1}}{17} = \frac{5^{n+4}+11^{3n+4}}{17} = \frac{5\cdot 5^{n+3}+1331\cdot 11^{3n+1}}{17}$$
$$= \frac{5^{n+3}+11^{3n+1}}{17} + \frac{4\cdot 5^{n+3}+1330\cdot 11^{3n+1}}{17} = \frac{a_n}{17}+79\cdot 11^{3n+1}\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
Во всех пунктах выражения делятся на указанное число при любом $$n\in \mathbb{N}$$.
