Упр.6.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Проверим, что каждый следующий член последовательности также делится на указанное число.
$$a_n=\frac{7^n-1}{6}.$$
При $$n=1$$ имеем:
$$a_1=\frac{7-1}{6}=1,$$
то есть кратность выполняется.
Пусть теперь $$a_n$$ — целое число. Тогда
$$a_{n+1}=\frac{7^{n+1}-1}{6} =\frac{7\cdot 7^n-1}{6} =\frac{7^n-1}{6}+\frac{6\cdot 7^n}{6} =a_n+7^n.$$
Так как $$a_n\in N$$ и $$7^n\in N$$, то $$a_{n+1}\in N$$.
$$a_n=\frac{2^{2n+1}+1}{3}.$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{2^3+1}{3}=\frac{9}{3}=3,$$
то есть кратность выполняется.
Пусть $$a_n$$ — целое число. Тогда
$$a_{n+1}=\frac{2^{2(n+1)+1}+1}{3} =\frac{2^{2n+3}+1}{3} =\frac{4\cdot 2^{2n+1}+1}{3} =\frac{(2^{2n+1}+1)+3\cdot 2^{2n+1}}{3} =a_n+2^{2n+1}.$$
Следовательно, $$a_{n+1}\in N$$.
$$a_n=\frac{17^n-1}{16}.$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{17-1}{16}=1,$$
то есть кратность выполняется.
Пусть $$a_n$$ — целое число. Тогда
$$a_{n+1}=\frac{17^{n+1}-1}{16} =\frac{17\cdot 17^n-1}{16} =\frac{17^n-1}{16}+\frac{16\cdot 17^n}{16} =a_n+17^n.$$
Значит, $$a_{n+1}\in N$$.
$$a_n=\frac{13^{2n+1}+1}{14}.$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{13^3+1}{14}=\frac{2197+1}{14}=\frac{2198}{14}=157,$$
то есть кратность выполняется.
Пусть $$a_n$$ — целое число. Тогда
$$a_{n+1}=\frac{13^{2(n+1)+1}+1}{14} =\frac{13^{2n+3}+1}{14} =\frac{13^2\cdot 13^{2n+1}+1}{14} =\frac{169\cdot 13^{2n+1}+1}{14}$$
$$=\frac{(13^{2n+1}+1)+168\cdot 13^{2n+1}}{14} =a_n+12\cdot 13^{2n+1}.$$
Следовательно, $$a_{n+1}\in N$$.
Ответ: во всех пунктах последовательность состоит из натуральных чисел.
