Упр.6.18(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли: $$\left(1+a\right)^n>1+na$$ при $$a>-1$$.

Докажем по индукции, что при $$a>-1$$ и натуральном $$n$$ выполняется неравенство Бернулли:

$$\left(1+a\right)^n \ge 1+na.$$

Ход решения

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$\left(1+a\right)^1=1+a,$$

то есть

$$\left(1+a\right)^1 \ge 1+1\cdot a.$$

База верна.

2. Индукционное предположение. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$\left(1+a\right)^k \ge 1+ka.$$

3. Индукционный переход. Докажем, что тогда

$$\left(1+a\right)^{k+1} \ge 1+(k+1)a.$$

Действительно, умножим обе части индукционного предположения на $$1+a$$. Так как $$a>-1$$, то $$1+a>0$$, и знак неравенства не меняется:

$$\left(1+a\right)^{k+1} \ge (1+ka)(1+a).$$

Раскроем скобки:

$$(1+ka)(1+a)=1+(k+1)a+ka^2.$$

Поскольку $$ka^2\ge 0$$, получаем

$$\left(1+a\right)^{k+1} \ge 1+(k+1)a.$$

Следовательно, неравенство верно и для $$n=k+1$$.

По принципу математической индукции неравенство Бернулли доказано для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$\left(1+a\right)^n \ge 1+na \quad \text{при } a>-1,\ n\in\mathbb{N}.$$