Упр.6.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

6.21. Докажите, что для любого натурального значения $$n$$ справедливо утверждение:
а) $$(n^3+35n):6$$;
в) $$(n^5-n):30$$;
б) $$(n^3+3n^2+8n):3$$;
г) $$(2n^3+3n^2+7n):6$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим выражение $$n^3+35n.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$1^3+35\cdot 1=1+35=36,$$

то есть число делится на $$6$$.

Пусть для некоторого натурального $$n$$ число $$n^3+35n$$ делится на $$6$$. Докажем, что тогда делится на $$6$$ и число

$$(n+1)^3+35(n+1).$$

Имеем:

$$\begin{aligned} (n+1)^3+35(n+1) &= n^3+3n^2+3n+1+35n+35 \\ &= n^3+35n+3n^2+3n+36 \\ &= (n^3+35n)+3n(n+1)+36. \end{aligned}$$

Так как произведение $$n(n+1)$$ чётно, то $$3n(n+1)$$ делится на $$6$$. Число $$36$$ тоже делится на $$6$$. Значит, $$(n+1)^3+35(n+1)$$ делится на $$6$$.

Следовательно, $$n^3+35n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

б) Рассмотрим выражение $$n^3+3n^2+8n.$$

При $$n=1$$:

$$1^3+3\cdot 1^2+8\cdot 1=1+3+8=12,$$

то есть число делится на $$3$$.

Пусть для некоторого натурального $$n$$ число $$n^3+3n^2+8n$$ делится на $$3$$. Тогда

$$\begin{aligned} (n+1)^3+3(n+1)^2+8(n+1) &= n^3+3n^2+3n+1+3n^2+6n+3+8n+8 \\ &= n^3+3n^2+8n+3n^2+9n+12 \\ &= (n^3+3n^2+8n)+3(n^2+3n+4). \end{aligned}$$

Оба слагаемых справа делятся на $$3$$, значит, и всё выражение делится на $$3$$.

Следовательно, $$n^3+3n^2+8n$$ делится на $$3$$ при любом натуральном $$n$$.

в) Рассмотрим выражение $$n^5-n.$$

Разложим его на множители:

$$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1).$$

Среди трёх последовательных чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$3$$, а одно из чисел $$n-1$$ и $$n+1$$ чётно. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.

Кроме того, среди трёх последовательных чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$5$$, поэтому произведение $$n^5-n$$ делится на $$30$$.

Следовательно, $$n^5-n$$ делится на $$30$$ при любом натуральном $$n$$.

г) Рассмотрим выражение $$2n^3+3n^2+7n.$$

При $$n=1$$:

$$2\cdot 1^3+3\cdot 1^2+7\cdot 1=2+3+7=12,$$

то есть число делится на $$6$$.

Пусть для некоторого натурального $$n$$ число $$2n^3+3n^2+7n$$ делится на $$6$$. Тогда

$$\begin{aligned} 2(n+1)^3+3(n+1)^2+7(n+1) &= 2n^3+6n^2+6n+2+3n^2+6n+3+7n+7 \\ &= 2n^3+3n^2+7n+3n^2+12n+12 \\ &= (2n^3+3n^2+7n)+3(n^2+4n+4). \end{aligned}$$

Оба слагаемых справа делятся на $$6$$, значит, и всё выражение делится на $$6$$.

Следовательно, $$2n^3+3n^2+7n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.