Упр.6.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажем неравенства по индукции.

а)

$$S_n=\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}-1.$$

1) При $$n=1$$ имеем:

$$S_1=\frac1{\sqrt2}>\sqrt2-1.$$

2) Пусть при $$n=k$$ неравенство верно:

$$S_k=\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}-1.$$

Тогда

$$S_{k+1}=S_k+\frac1{\sqrt{k+2}}>\sqrt{k+1}-1+\frac1{\sqrt{k+2}}.$$

Осталось показать, что

$$\sqrt{k+1}-1+\frac1{\sqrt{k+2}}>\sqrt{k+2}-1.$$

Действительно,

$$\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+2}}-\sqrt{k+2}=\frac{\sqrt{k+1}\sqrt{k+2}-(k+1)}{\sqrt{k+2}}=\frac{\sqrt{k+1}\bigl(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}\bigr)}{\sqrt{k+2}}>0.$$

Значит, $$S_{k+1}>\sqrt{k+2}-1$$. Следовательно, неравенство верно для любого $$n\in\mathbb N$$.

б)

$$S_n=\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-1.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=\frac1{\sqrt2}<2\sqrt2-1.$$

2) Пусть при $$n=k$$ неравенство верно:

$$S_k=\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1}-1.$$

Тогда

$$S_{k+1}=S_k+\frac1{\sqrt{k+2}}<2\sqrt{k+1}-1+\frac1{\sqrt{k+2}}.$$

Покажем, что

$$2\sqrt{k+1}-1+\frac1{\sqrt{k+2}}<2\sqrt{k+2}-1.$$

Для этого достаточно проверить:

$$2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+2}}-2\sqrt{k+2}<0.$$

Преобразуем:

$$2\sqrt{k+1}+\frac1{\sqrt{k+2}}-2\sqrt{k+2}=\frac{1-2\bigl(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}\bigr)\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+2}}$$

$$=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+2}\bigl(\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}\bigr)}<0.$$

Значит, $$S_{k+1}<2\sqrt{k+2}-1$$. Следовательно, неравенство верно для любого $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

а) $$\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}-1$$ для всех $$n\in\mathbb N$$;

б) $$\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-1$$ для всех $$n\in\mathbb N$$.